[论文解读] Computing The Analytic Connectivity of A Uniform Hypergraph

Chufeng Cui, Ziyan Luo+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 49被引用 3

一句话总结

本文提出了一种可行的信赖域算法（FTR），用于计算统一超图的解析连通性，这是一种超图连通性的谱度量。通过利用将解析连通性局部化到最小度顶点的结构特性，FTR将计算量减少为求解更少的、结构化的多项式优化问题，实现了全局收敛性，并在大规模实例上相较于现有求解器（如SNOPT）展现出卓越的效率。

ABSTRACT

The analytic connectivity, proposed as a substitute of the algebraic connectivity in the setting of hypergraphs, is an important quantity in spectral hypergraph theory. The definition of the analytic connectivity for a uniform hypergraph involves a series of optimization problems (POPs) associated with the Laplacian tensor of the hypergraph with nonnegativity constraints and a sphere constraint, which poses difficulties in computation. To reduce the involved computation, properties on the algebraic connectivity are further exploited, and several important structured uniform hypergraphs are shown to attain their analytic connectivities at vertices of the minimum degrees, hence admit a relatively less computation by solving a small number of POPs. To efficiently solve each involved POP, we propose a feasible trust region algorithm ({ t FTR}) by exploiting their special structures. The global convergence of { t FTR} to the second-order necessary conditions points is established, and numerical results for both small and large size examples with comparison to other existing algorithms for POPs are reported to demonstrate the efficiency of our proposed algorithm.

研究动机与目标

• 解决目前缺乏高效算法来计算统一超图中解析连通性的问题，后者是超图连通性的一个关键谱度量。
• 通过识别出在某些结构化超图中，解析连通性在最小度顶点处取得，从而降低计算成本。
• 开发一种专门针对由解析连通性定义所引出的非凸、约束多项式优化问题的优化算法。
• 建立所提出的算法对底层优化问题的二阶必要最优性条件点的全局收敛性。
• 通过高效计算解析连通性，证明将Cheeger型不等式推广至超图的实用性。

提出的方法

• 将解析连通性表述为一个涉及拉普拉斯张量、非负性约束和球面约束的约束多项式优化问题。
• 利用特定超图（如去掉一条边的完全超图）的结构对称性和度属性，减少所需求解的优化子问题数量。
• 提出一种可行信赖域算法（FTR），同时尊重非负性和等式约束，通过带有信赖域更新的序列二次子问题求解。
• 通过利用问题的特殊结构并使用精确的海森矩阵近似，确保FTR对二阶必要最优性条件的全局收敛性。
• 利用稀疏矩阵技术高效求解二次子问题，充分利用大规模问题中海森矩阵的$O(1/n)$稀疏性。
• 在小规模和大规模超图实例上实现并比较FTR与SNOPT及其他求解器的性能，以验证其有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结构化的统一超图中，哪些顶点最有可能实现解析连通性，从而实现计算负载的降低？
• RQ2 能否设计一种专用优化算法，以高效求解由解析连通性计算引出的非凸、约束多项式优化问题？
• RQ3 对于大规模超图实例，所提出的可行信赖域算法（FTR）在收敛速度和精度方面与现有求解器（如SNOPT）相比如何？
• RQ4 解析连通性在多大程度上可作为超图连通性的可靠度量？它能否用于界定超图中的Cheeger数？
• RQ5 FTR算法在不同规模和稀疏度水平的超图上的可扩展性和鲁棒性如何？

主要发现

• 若干结构化统一超图（包括$K_n^-$）的解析连通性在最小度顶点处取得，从而减少了所需求解的优化子问题数量。
• FTR实现了对解析连通性计算中涉及的约束多项式优化问题的全局收敛，达到二阶必要最优性条件点。
• 对于大规模问题（最大至$n=500$），FTR在计算时间上优于SNOPT，尽管面临高维实例，仍能以更少的迭代次数实现更快收敛。
• 数值结果表明，FTR与SNOPT在所有测试案例中均产生相同的最优值，且FTR的成功率超过70%，在迭代次数和CPU时间上通常优于SNOPT。
• $K_n^-$的解析连通性随$n$单调递增，且计算值与理论上限$ar{eta} = n - 2 - rac{2}{n-1}$非常接近，证实了该上界具有紧致性。
• 解析连通性是超图连通性的强指标，高值出现在如$K_n^-$等高度连通的超图中，验证了其在谱超图理论中的实用性。