[论文解读] Computing the diameter polynomially faster than APSP

Raphael Yuster|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 16

一句话总结

该论文提出了首个在时间复杂度上多项式地快于已知所有点对最短路径（APSP）算法的随机化算法，用于计算具有整数边权的有向图的直径。通过引入一种新颖的阈值APSP问题——报告所有距离不超过d的点对，该算法利用多项式上的矩阵卷积与快速矩阵乘法，实现了在权重集合{−M,…,M}下运行时间为Õ(M^{ω/(ω+1)}n^{(ω²+3)/(ω+1)})，该复杂度快于Zwick的APSP算法，当M有界时成立。

ABSTRACT

We present a new randomized algorithm for computing the diameter of a weighted directed graph. The algorithm runs in $\Ot(M^{\w/(\w+1)}n^{(\w^2+3)/(\w+1)})$ time, where $\w < 2.376$ is the exponent of fast matrix multiplication, $n$ is the number of vertices of the graph, and the edge weights are integers in $\{-M,...,0,...,M\}$. For bounded integer weights the running time is $O(n^{2.561})$ and if $\w=2+o(1)$ it is $\Ot(n^{7/3})$. This is the first algorithm that computes the diameter of an integer weighted directed graph polynomially faster than any known All-Pairs Shortest Paths (APSP) algorithm. For bounded integer weights, the fastest algorithm for APSP runs in $O(n^{2.575})$ time for the present value of $\w$ and runs in $\Ot(n^{2.5})$ time if $\w=2+o(1)$. For directed graphs with {\em positive} integer weights in $\{1,...,M\}$ we obtain a deterministic algorithm that computes the diameter in $\Ot(Mn^\w)$ time. This extends a simple $\Ot(n^\w)$ algorithm for computing the diameter of an {\em unweighted} directed graph to the positive integer weighted setting and is the first algorithm in this setting whose time complexity matches that of the fastest known Diameter algorithm for {\em undirected} graphs. The diameter algorithms are consequences of a more general result. We construct algorithms that for any given integer $d$, report all ordered pairs of vertices having distance {\em at most} $d$. The diameter can therefore be computed using binary search for the smallest $d$ for which all pairs are reported.

研究动机与目标

• 开发一种比现有所有点对最短路径（APSP）算法更快的算法，用于计算具有整数边权的有向图的直径。
• 解决一个开放问题：在整数权重有向图中，直径是否可以比APSP算法在渐近意义上更快计算？
• 将Õ(n^ω)的无权有向图直径算法扩展至正整数权重情形，使其时间复杂度与目前最优的无向图算法保持一致。
• 引入并解决阈值APSP问题——报告所有距离不超过d的点对——作为直径计算的关键原 primitive。

提出的方法

• 引入阈值APSP问题：对于给定的阈值d，报告所有距离至多为d的顶点有序对。
• 通过在d上进行二分查找来计算直径，将直径问题转化为多个阈值APSP实例。
• 对于{−M,…,M}中的负权和零权，采用基于距离层级的递归分解，将矩阵A_k按区间L(d,M,j)分组。
• 将多个距离矩阵A_k编码为单个多项式矩阵B的系数，其中B[u,v] = Σ_{q=0}^{s-1} A_{q+t}[u,v] x^q。
• 在多项式环中计算C = B²，通过提取系数恢复A_k，利用多项式上的快速矩阵乘法。
• 使用基数替换（例如x = n+1）将多项式乘法模拟为整数算术运算，由于存在O(M)个系数，总时间复杂度被限制在Õ(M n^ω)。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有整数边权的有向图的直径能否比已知的APSP算法更快计算？
• RQ2 是否存在一种方法，通过使用一个严格比完整APSP更简单的问題类（即阈值APSP）来计算直径？
• RQ3 能否将无权有向图直径的Õ(n^ω)算法扩展至正整数权重图，且保持相同的渐近时间复杂度？
• RQ4 在使用快速矩阵乘法进行直径计算时，权重范围M与图大小n之间最优的时间复杂度权衡是什么？

主要发现

• 该算法在{−M,…,M}整数权重下，以Õ(M^{ω/(ω+1)}n^{(ω²+3)/(ω+1)})的时间复杂度计算有向图的直径，当M有界时，该复杂度多项式地快于Zwick的APSP算法。
• 当M = O(1)（即权重有界）时，运行时间为O(n^{2.561})（当ω < 2.376时），优于目前已知APSP算法的O(n^{2.575})。
• 当ω = 2 + o(1)时，该算法运行时间为Õ(n^{7/3})，与目前最优的无向图亚立方时间复杂度一致。
• 对于{1,…,M}中的正整数权重，存在一个确定性算法，可在Õ(M n^ω)时间内计算直径，与目前最优无向图算法的时间复杂度一致。
• 该算法利用多项式矩阵卷积同时计算多个距离矩阵，将成本从O(M²n^ω)降低至Õ(M n^ω)。
• 该解法依赖于距离范围的递归分层分解与高效的多项式表示，从而在结构化系数集上实现快速矩阵乘法。