[论文解读] Computing the full signature kernel as the solution of a Goursat problem

Thomas Cass, Terry Lyons+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2020

Anomaly Detection Techniques and Applications被引用 4

一句话总结

该论文通过将全签名核公式化为Goursat问题，提出了一种高效的全签名核计算方法，该问题可通过有限差分格式求解，从而实现对有界变差连续路径的精确核计算。该方法进一步利用粗糙路径积分理论将结果扩展至几何粗糙路径，将核定义为一个粗糙积分方程的解。

ABSTRACT

Recently there has been an increased interested in the development of kernel methods for sequential data. An inner product between the signatures of two paths can be shown to be a reproducing kernel and therefore suitable to be used in the context of data science. An efficient algorithm has been proposed to compute the signature kernel by truncating the two input signatures at a certain level, mainly focusing on the case of continuous paths of bounded variation. In this paper we show that the full (i.e. untruncated) signature kernel is the solution of a Goursat problem which can be efficiently computed by finite different schemes (python code can be found in this https URL). In practice, this result provides a kernel trick for computing the full signature kernel. Furthermore, we use a density argument to extend the previous analysis to the space of geometric rough paths, and prove using classical theory of integration of one-forms along rough paths that the full signature kernel solves a rough integral equation analogous to the PDE derived for the bounded variation case.

研究动机与目标

• 开发一种无需截断的高效算法，用于计算有界变差连续路径的全签名核。
• 建立全签名核与一类Goursat型偏微分方程（PDE）之间的联系。
• 利用粗糙路径积分理论，将核计算框架扩展至几何粗糙路径。
• 为涉及序列数据的数据科学应用提供一种精确签名核评估的核技巧。

提出的方法

• 将全签名核公式化为Goursat问题的解，即一种具有非特征曲线上初始条件的特定类型双曲PDE。
• 应用有限差分格式数值求解Goursat问题，从而实现核的高效且精确计算。
• 通过密度论证，将有界变差路径的结果推广至更广泛的几何粗糙路径空间。
• 借助微形式沿粗糙路径积分的经典理论，推导出与有界变差情况下PDE相对应的粗糙积分方程。
• 通过仔细离散化核的定义域，确保有限差分格式的数值稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以无需截断地精确计算全签名核，若可以，如何实现高效公式化？
• RQ2 全签名核背后的PDE结构是什么，能否以高精度进行数值求解？
• RQ3 如何将适用于有界变差路径的框架扩展至几何粗糙路径？
• RQ4 在有界变差情况下推导出的PDE是否存在粗糙路径类比？

主要发现

• 全签名核恰好是Goursat问题的解，从而可通过有限差分格式实现高效计算。
• 所提方法可实现无截断的精确核计算，克服了以往截断方法的局限性。
• 通过密度论证与粗糙路径积分理论，将框架成功扩展至几何粗糙路径。
• 几何粗糙路径的全签名核满足一个与有界变差情况下PDE相对应的粗糙积分方程。