[论文解读] Computing the Inverse Mellin Transform of Holonomic Sequences using Kovacic's Algorithm

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Numerical methods for differential equations被引用 12

一句话总结

本文将HarmonicSums计算机代数软件包扩展至通过将Kovacic算法用于求解线性微分方程的范围扩展至非d’Alembertian解，来计算全纯序列的逆Mellin变换。该方法使得能够以涉及代数函数和对数函数的迭代积分形式计算逆Mellin变换，显著拓宽了符号积分与特殊函数理论中可解问题的类别。

ABSTRACT

We describe how the extension of a solver for linear differential equations by Kovacic's algorithm helps to improve a method to compute the inverse Mellin transform of holonomic sequences. The method is implemented in the computer algebra package HarmonicSums.

研究动机与目标

• 克服现有方法仅能计算其解为d’Alembertian的全holonomic序列之逆Mellin变换的局限性。
• 扩展HarmonicSums中的微分方程求解器，以使用Kovacic算法处理非d’Alembertian解。
• 使全holonomic序列的逆Mellin变换计算成为可能，这些序列导致具有Liouvillian解的微分方程。
• 提供一种系统化方法，将逆Mellin变换表示为涉及代数函数和对数函数的迭代积分。
• 通过涉及广义调和和、二项式系数及嵌套和的显式例子，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 利用序列及其生成函数的全holonomic性质，将逆Mellin变换问题简化为求解线性微分方程。
• 利用全holonomic闭包性质，从Mellin变换$ F(n) $的全holonomic递推关系推导出未知函数$ f(x) $的线性微分方程。
• 应用Kovacic算法求解所得线性微分方程，将解的范围从d’Alembertian解扩展至包含Liouvillian解。
• 以迭代积分和代数函数的形式构造微分方程的通解。
• 通过数值或符号积分计算Mellin变换$ F(n) $的初始值，以确定积分常数。
• 将通解与初始条件结合，得到$ f(x) $的闭式表达式，即为逆Mellin变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kovacic算法能否有效集成到计算机代数系统中，以扩展可解逆Mellin变换问题的类别？
• RQ2 哪些类型的全holonomic序列会导致其解非d’Alembertian但为Liouvillian的微分方程？
• RQ3 当d’Alembertian解不足以表示时，如何用迭代积分表达逆Mellin变换？
• RQ4 扩展求解器以包含代数和对数函数解的计算影响是什么？
• RQ5 该方法能否系统地应用于具有非d’Alembertian结构的广义调和和、二项式系数及嵌套和？

主要发现

• 将Kovacic算法集成到HarmonicSums中，使得能够计算全holonomic序列的逆Mellin变换，其关联微分方程具有Liouvillian解，从而超越了d’Alembertian类的限制。
• 对于序列$ F(n) = \frac{4}{9} \frac{(3n)!}{(2n)!n!} $，其逆Mellin变换表达为$ f(x) = \frac{\text{const}}{\text{代数和根式表达式}} $，常数通过匹配矩来确定。
• 该方法成功计算了$ \binom{3i}{i} \frac{1}{i} $的逆Mellin变换，得到包含三重积分和代数函数的解，最终表达式包含$ \frac{\text{const}}{27x - 4} $和嵌套积分。
• 序列$ \binom{4n}{2n} $的逆Mellin变换表达为包含$ \frac{1}{\text{根式表达式}} $的积分，展示了该方法处理对称二项式系数的能力。
• 序列$ \frac{1}{n \binom{3n}{n}} $的逆Mellin变换表示为包含$ \frac{1}{\text{立方根}(\text{平方根之和})} $的积分，表明该方法在处理奇异且非多项式生成函数方面的能力。
• 该方法实现了对涉及$ \binom{3i}{i} \frac{1}{i^2} $的序列的逆Mellin变换的符号计算，结果包含三重积分和对数项，证实了该方法对高阶奇点的鲁棒性。