[论文解读] Computing the Largest Bond of a Graph

Gabriel L. Duarte, Daniel Lokshtanov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用 2

一句话总结

本文研究了在图中寻找最大边连通子图（bond）的计算复杂性，证明其在平面二分图中仍是 NP-难问题，且除非 P = NP，否则不存在常数因子近似算法。作者建立了当以树宽或解大小为参数时的固定参数可满足性，但表明除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不存在多项式核，凸显了该问题在参数化范围之外的固有难解性。

ABSTRACT

A bond of a graph G is an inclusion-wise minimal disconnecting set of G, i.e., bonds are cut-sets that determine cuts [S,V\S] of G such that G[S] and G[V\S] are both connected. Given s,t in V(G), an st-bond of G is a bond whose removal disconnects s and t. Contrasting with the large number of studies related to maximum cuts, there are very few results regarding the largest bond of general graphs. In this paper, we aim to reduce this gap on the complexity of computing the largest bond and the largest st-bond of a graph. Although cuts and bonds are similar, we remark that computing the largest bond of a graph tends to be harder than computing its maximum cut. We show that Largest Bond remains NP-hard even for planar bipartite graphs, and it does not admit a constant-factor approximation algorithm, unless P = NP. We also show that Largest Bond and Largest st-Bond on graphs of clique-width w cannot be solved in time f(w) x n^{o(w)} unless the Exponential Time Hypothesis fails, but they can be solved in time f(w) x n^{O(w)}. In addition, we show that both problems are fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the solution, but they do not admit polynomial kernels unless NP subseteq coNP/poly.

研究动机与目标

• 为填补对一般图中最大边连通子图计算复杂性的理解空白，与研究充分的最大小割问题形成对比。
• 分析最大边连通子图和最大 s-t 边连通子图的参数复杂性，特别是针对树宽和解大小。
• 研究这些问题是否存在多项式核与近似算法。
• 建立平面图与二分图下的难解性结果，表明即使在结构限制下，该问题依然难以求解。

提出的方法

• 在树分解上设计动态规划算法，通过分区 ρ₁ 和 ρ₂ 以及顶点子集 S 跟踪袋子中的连通分量。
• 使用递归状态转移处理树分解操作：引入顶点、引入边、遗忘顶点和连接节点。
• 利用贝尔数对袋子分区数进行上界估计，从而得出基于树宽的计算时间复杂度为 2^O(tw log tw) × n。
• 应用或-组合技术证明近似性不可行性与核化下界。
• 通过在所有状态中固定 s ∈ S 且 t ∉ S，对最大 s-t 边连通子图问题修改动态规划公式。
• 采用类似高斯消去法的技术，将树宽的指数依赖关系降低至单指数时间，尽管论文指出此为优化方向。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大边连通子图问题在平面二分图中是否为 NP-难？
• RQ2 最大边连通子图问题能否在常数因子内近似，近似算法的局限性是什么？
• RQ3 当以树宽或解大小为参数时，最大边连通子图问题是否为固定参数可满足？
• RQ4 在标准复杂性假设下，最大边连通子图与最大 s-t 边连通子图是否具有多项式核？
• RQ5 最大边连通子图的复杂性与最大小割问题相比如何，特别是在平面图中？

主要发现

• 最大边连通子图在平面二分图中仍为 NP-难，表明其在一般图之外也具有强难解性。
• 除非 P = NP，否则该问题不具有常数因子近似算法，表明其具有强不可近似性。
• 最大边连通子图与最大 s-t 边连通子图可在时间 f(w) × n^O(w) 内求解（w 为 clique-width），但若指数时间假设不成立，则无法在 f(w) × n^o(w) 时间内求解。
• 当以解大小 k 为参数时，两个问题均可在时间 f(k) × n^O(1) 内求解，表明其为固定参数可满足。
• 最大边连通子图与最大 s-t 边连通子图在 NP ⊆ coNP/poly 不成立的前提下，不具有多项式核，表明其具有强核化下界。
• 基于树分解的动态规划方法可实现 2^O(tw log tw) × n 的运行时间，且可通过高斯消去法技术进一步优化。