[论文解读] Computing the Mostar index in networks with applications to molecular graphs

Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Graph theory and applications参考文献 17被引用 9

一句话总结

本文提出一种新方法，通过基于粗化边划分将加权图分解为加权商图，实现对苯环系中Mostar指数的次线性计算。该方法在分子图（包括苯环系和富勒烯片段）上实现了高效且精确的Mostar指数计算，经特定示例验证。

ABSTRACT

Recently, a bond-additive topological descriptor, named as the Mostar index, has been introduced as a measure of peripherality in networks. For a connected graph $G$, the Mostar index is defined as $Mo(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} |n_u(e) - n_v(e)|$, where for an edge $e=uv$ we denote by $n_u(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $u$ than to $v$ and by $n_v(e)$ the number of vertices of $G$ that are closer to $v$ than to $u$. In this paper, we generalize the definition of the Mostar index to weighted graphs and prove that the Mostar index of a weighted graph can be computed in terms of Mostar indices of weighted quotient graphs. As a consequence, we show that the Mostar index of a benzenoid system can be computed in sub-linear time with respect to the number of vertices. Finally, our method is applied to some benzenoid systems and to a fullerene patch.

研究动机与目标

• 开发一种广义框架，用于计算加权图中的Mostar指数，将其适用范围从无权分子图扩展至更广泛场景。
• 解决在复杂拓扑结构（如苯环系）的大规模分子网络中计算Mostar指数的计算挑战。
• 通过利用图商化和边划分技术，实现苯环系中Mostar指数的次线性时间计算。
• 通过系统性地将图分解为更简单的商结构，提供一种可扩展的方法，适用于多种分子图，包括富勒烯和纳米圆锥。

提出的方法

• 通过将顶点权和边权纳入标准定义，将Mostar指数推广至加权图：$ Mo(G,w,w') = \sum_{e=uv} w'(e) \left| n_u(e) - n_v(e) \right| $，其中 $ n_u(e) $ 表示比 $ v $ 更接近 $ u $ 的顶点权之和。
• 使用 $ \Theta^* $-边集划分来定义更粗粒度的划分，以保留计算指数所必需的结构特性。
• 为每个划分类 $ F_i $ 构建加权商图 $ G/F_i $，其中顶点代表 $ \Theta^* $-类，边权由原图权值导出。
• 证明原图的Mostar指数等于其所有加权商图Mostar指数之和：$ Mo(G) = \sum_i Mo(G_i, \lambda_i, \lambda_i') $。
• 将该方法应用于苯环系，通过将其分解为三个加权商树，实现通过递归或闭式表达式进行高效计算。
• 通过将边划分为两类，计算商图，并对其Mostar指数求和，验证该方法在富勒烯片段上的应用，获得总指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将图分解为商图，高效计算加权图中的Mostar指数？
• RQ2 所提出的基于商图的方法是否能在苯环系中实现Mostar指数的次线性时间计算？
• RQ3 该方法在非部分立方体分子图（如具有非传递 $ \Theta $-关系的富勒烯片段）上的表现如何？
• RQ4 该方法能否推广至其他分子图类别，如联苯系或 $ C_4C_8 $ 系统？
• RQ5 从 $ C_{60} $ 衍生的特定富勒烯片段的Mostar指数是多少？能否通过商图分解高效计算？

主要发现

• 加权图的Mostar指数可计算为通过粗化 $ \Theta^* $-划分获得的加权商图Mostar指数之和。
• 对于含 $ h $ 个六元环的线性苯环系，Mostar指数为 $ 27h^4 - 18h^3 - 9h^2 $，与先前结果一致。
• 通过三个加权商树计算出分支苯环系的Mostar指数为496，验证了该方法的准确性。
• 从 $ C_{60} $ 衍生的富勒烯片段的Mostar指数为150，通过两个商图高效计算得出，其中一个贡献的指数为零。
• 该方法通过将问题简化为更小的商结构，实现了苯环系中Mostar指数的次线性时间计算。
• 该方法可扩展至其他分子图，如联苯系和 $ C_4C_8 $ 系统，后者在计算指数时需使用四个加权商树。