[论文解读] Computing the Multicover Bifiltration

René Corbet, Michael Kerber+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Topological and Geometric Data Analysis被引用 2

一句话总结

本文提出了一种计算高效的组合模型，用于拓扑数据分析中的多覆盖双过滤，基于Edelsbrunner和Osang的菱形镶嵌构造多面体双过滤。该方法在维度d下实现O(nd+1)的大小复杂度，支持可扩展的双参数持久同调计算，实验结果表明，当d = 2和d = 3时，其大小和时间分别呈现次二次方和次立方增长。

ABSTRACT

Given a finite set A ⊂ ℝ^d, let Cov_{r,k} denote the set of all points within distance r to at least k points of A. Allowing r and k to vary, we obtain a 2-parameter family of spaces that grow larger when r increases or k decreases, called the multicover bifiltration. Motivated by the problem of computing the homology of this bifiltration, we introduce two closely related combinatorial bifiltrations, one polyhedral and the other simplicial, which are both topologically equivalent to the multicover bifiltration and far smaller than a Čech-based model considered in prior work of Sheehy. Our polyhedral construction is a bifiltration of the rhomboid tiling of Edelsbrunner and Osang, and can be efficiently computed using a variant of an algorithm given by these authors as well. Using an implementation for dimension 2 and 3, we provide experimental results. Our simplicial construction is useful for understanding the polyhedral construction and proving its correctness.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的组合模型用于多覆盖双过滤，该模型在拓扑上等价于原始的几何构造。
• 通过引入更小、更组合化的替代方案，克服先前基于ˇCech模型的高计算成本。
• 实现对具有不同密度和异常值的数据的双参数持久同调计算的实用化。
• 提供一个可扩展的框架，用于在多个空间尺度和密度尺度上分析拓扑结构。
• 为多覆盖双过滤在真实世界数据分析中的未来应用提供支持。

提出的方法

• 基于Rd+1中的菱形镶嵌构造一个多面体双过滤，该双过滤在拓扑上等价于多覆盖双过滤。
• 采用Edelsbrunner和Osang算法的改进变体，高效计算菱形镶嵌。
• 引入一个单纯复形模型，正式证明菱形双过滤与原始多覆盖双过滤之间的拓扑等价性。
• 通过控制k参数的阈值来调控双过滤的大小，将计算限制在相关的密度水平。
• 针对d = 2和d = 3实现该方法，并通过实验评估验证其可扩展性。
• 利用双过滤计算希尔伯特函数并可视化拓扑不变量，展示其在噪声下的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个更小、更组合化的双过滤，使其在拓扑上等价于多覆盖双过滤？
• RQ2 此类模型的计算复杂度是多少？能否扩展到实际数据规模？
• RQ3 随着维度和阈值K的增加，该模型的大小与计算时间如何增长？
• RQ4 该模型能否支持双参数持久同调不变量的高效计算？
• RQ5 该模型是否如理论预测的那样，在几何扰动和噪声下保持稳定性？

主要发现

• 基于菱形的多面体双过滤在维度d下实现O(nd+1)的大小复杂度，显著小于ˇCech基模型。
• 当d = 2时，双过滤及其FIREP（过滤Rips复形）的大小随K增加呈现次二次方增长。
• 当d = 3时，双过滤的大小随K增加呈现次立方增长，表明具有良好的可扩展性。
• 计算时间和内存使用量随点数大致呈线性增长，具有轻微的超线性趋势。
• 实验结果证实，随着K的增加，基于菱形的模型的相对性能持续提升。
• 使用rivet4可视化第一希尔伯特函数，展示了多覆盖双过滤在噪声和复杂数据上的利普希茨稳定性。