[论文解读] Computing the Skorokhod Distance between Polygonal Traces (Full Paper)

Rupak Majumdar, Vinayak S. Prabhu|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2014

Formal Methods in Verification参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文提出了首个在 $ℝ^n$ 中对 $L_1$、$L_2$ 和 $L_\infty$ 范数下，计算多边形轨迹之间 Skorokhod 距离的全多项式时间算法。通过将 Skorokhod 距离计算简化为一个 Fréchet 距离问题，并引入新颖的几何原语，该方法实现了对混合系统轨迹中时间与数值不匹配的精确、高效计算，时间复杂度为 $O(m^3 \cdot \log m \cdot \text{poly}(n))$，其中 $m$ 为仿射线段的数量。

ABSTRACT

The \emph{Skorokhod distance} is a natural metric on traces of continuous and hybrid systems. For two traces, from $[0,T]$ to values in a metric space $O$, it measures the best match between the traces when allowed continuous bijective timing distortions. Formally, it computes the infimum, over all timing distortions, of the maximum of two components: the first component quantifies the {\em timing discrepancy} of the timing distortion, and the second quantifies the mismatch (in the metric space $O$) of the values under the timing distortion. Skorokhod distances appear in various fundamental hybrid systems analysis concerns: from definitions of hybrid systems semantics and notions of equivalence, to practical problems such as checking the closeness of models or the quality of simulations. Despite its popularity and extensive theoretical use, the \emph{computation} problem for the Skorokhod distance between two finite sampled-time hybrid traces has remained open. We address in this work the problem of computing the Skorokhod distance between two polygonal traces (these traces arise when sampled-time traces are completed by linear interpolation between sample points). We provide the first algorithm to compute the exact Skorokhod distance when trace values are in $ eals^n$ for the $L_1$, $L_2$, and $L_{\infty}$ norms. Our algorithm, based on a reduction to Frechet distances, is fully polynomial-time, and incorporates novel polynomial-time procedures for a set of geometric primitives in $ eals^n$ over the three norms.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的问题：对通过线性插值完成的有限采样时间混合轨迹（即多边形轨迹）计算 Skorokhod 距离。
• 为 $ℝ^n$ 中 $L_1$、$L_2$ 和 $L_\infty$ 范数下的 Skorokhod 距离提供一个全多项式时间算法。
• 将 Alt 和 Godau（1995）提出的基于 Fréchet 的方法的草图推广并形式化至高维空间和多种范数，填补缺失细节并纠正错误。
• 为 Skorokhod 距离计算所需的关键几何原语开发高效、多项式时间的计算方法，包括球与直线的交点以及在不同范数下到线段的距离。

提出的方法

• 将 Skorokhod 距离计算简化为在变换范数空间中计算相关曲线的 Fréchet 距离。
• 提出一种新颖的归约方法，将 Skorokhod 问题映射为涉及时间扭曲与数值不匹配的几何优化问题。
• 利用线性规划和凸几何，在 $ℝ^n$ 中对 $L_1$、$L_2$、$L_\infty$、$L_S^1$ 和 $L_S^2$ 范数下开发多项式时间算法处理几何原语。
• 使用参数搜索和并行排序技术以改善渐近时间复杂度，尽管常数较大。
• 应用窗口化优化技术，将重定时限制在常数大小的滑动窗口内，将复杂度降低至 $O(m \cdot \log m)$（用于数值计算）和 $O(m)$（用于判定问题）。
• 提供自包含的处理方式，从基本原理推导并证明所有必要的几何结果，不依赖先前的计算几何成果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ℝ^n$ 中，对于 $L_1$、$L_2$ 和 $L_\infty$ 范数，是否可以精确地在多项式时间内计算两条多边形轨迹之间的 Skorokhod 距离？
• RQ2 是否可以将 Skorokhod 距离计算归约为高维或变换空间中的 Fréchet 距离问题？
• RQ3 在 $ℝ^n$ 中，不同范数下计算 Skorokhod 距离所需的几何原语（如点到直线的距离、球与直线的交点）的计算复杂度是多少？
• RQ4 在重定时被限制在常数大小滑动窗口的实际场景中，该算法是否可被优化？
• RQ5 该方法是否可扩展至涉及对差异求和而非取最大值的范数？

主要发现

• 两条 $ℝ^n$ 中多边形轨迹之间的 Skorokhod 距离可在 $O\left((m_x m_y^2 + m_y m_x^2) \cdot (P(\chi) + \log(m_x m_y)) + m_x m_y \cdot H(\chi)\right)$ 时间内计算，其中 $m_x$ 和 $m_y$ 分别为轨迹中的仿射线段数量。
• 对于 $L_1$ 和 $L_\infty$ 范数，几何原语的计算时间为 $O(n^2)$，其中 $P(L_1) = P(L_\infty) = \text{LP}(n)$，$ \text{LP}(n)$ 为线性规划的时间上界。
• 对于 $L_2$ 范数，原语在 $O(n)$ 时间内计算，其中 $P(L_2) = n$ 且 $H(L_2) = n$，利用向量代数和凸几何。
• 当重定时被限制在常数大小的滑动窗口 $W$ 时，数值计算的时间复杂度为 $O(M \cdot P(\chi) + M \cdot \log M \cdot H(\chi))$，其中 $M = \max(m_x, m_y)$，判定问题的时间复杂度为 $O(M \cdot H(\chi))$。
• 该算法还首次提供了在 $ℝ^n$ 中对 $L_1$、$L_2$、$L_\infty$、$L_S^1$ 和 $L_S^2$ 范数下计算多边形曲线之间 Fréchet 距离的全多项式时间方法。
• 该方法是自包含的，形式化证明了所有几何引理和先前工作的推广，纠正了早期草图中的错误，特别是 Alt 和 Godau（1995）的草图。