[论文解读] Computing the spectral action for fuzzy geometries: from random noncommutatative geometry to bi-tracial multimatrix models

Carlos I. Pérez-Sánchez|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 52被引用 8

一句话总结

该论文利用随机非交换几何计算$2n$-维模糊几何的谱作用，将路径积分重新表述为具有$N \times N$复矩阵的双迹多矩阵模型。推导出至六次（2D）和四次（4D）多项式的显式公式，通过弦图确保$N$-无关性和自伴性，从而为大-$N$极限提供自由概率方法。

ABSTRACT

A fuzzy geometry is a certain type of spectral triple whose Dirac operator crucially turns out to be a finite matrix. This notion was introduced in [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] and accommodates familiar fuzzy spaces like spheres and tori. In the framework of random noncommutative geometry, we use Barrett's characterization of Dirac operators of fuzzy geometries in order to systematically compute the spectral action $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$ for $2n$-dimensional fuzzy geometries. In contrast to the original Chamseddine-Connes spectral action, we take a polynomial $f$ with $f(x) o \infty$ as $ |x| o\infty$ in order to obtain a well-defined path integral that can be stated as a random matrix model with action of the type $S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+ extstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i $, being $F,A_i $ and $B_i $ noncommutative polynomials in $2^{2n-1}$ complex $N imes N$ matrices that parametrize the Dirac operator $D$. For arbitrary signature---thus for any admissible KO-dimension---formulas for 2-dimensional fuzzy geometries are given up to a sextic polynomial, and up to a quartic polynomial for 4-dimensional ones, with focus on the octo-matrix models for Lorentzian and Riemannian signatures. The noncommutative polynomials $F,A_i $ and $B_i$ are obtained via chord diagrams and satisfy: independence of $N$; self-adjointness of the main polynomial $F$ (modulo cyclic reordering of each monomial); also up to cyclicity, either self-adjointness or anti-self-adjointness of $A_i $ and $B_i $ simultaneously, for fixed $i$. Collectively, this favors a free probabilistic perspective for the large-$N$ limit we elaborate on.

研究动机与目标

• 系统计算$2n$-维模糊几何的谱作用$S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$，使用随机非交换几何。
• 将路径积分重新表述为具有多项式$f$的良定义随机矩阵模型，以确保收敛性。
• 推导谱作用在狄拉克算子上至六次（2D）和四次（4D）多项式的显式表达式。
• 通过弦图组合学确保作用量分量的$N$-无关性和自伴性。
• 通过构建具有循环不变性的双迹多矩阵模型，使大-$N$极限具备自由概率框架。

提出的方法

• 利用巴雷特对模糊几何中狄拉克算子作为有限矩阵的表征，定义谱三元组。
• 采用多项式$f$，满足$f(x) \to \infty$当$|x| \to \infty$，以确保路径积分的收敛性。
• 将谱作用表示为$S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\, F + \sum_i \mathrm{tr}\, A_i \cdot \mathrm{tr}\, B_i$，其中$F, A_i, B_i$是$2^{2n-1}$个复$N \times N$矩阵的非交换多项式。
• 利用弦图构造$F, A_i, B_i$，以强制实现$N$-无关性和循环不变性。
• 对$F$（模循环重排）施加自伴性，对每个$i$同时对$A_i$和$B_i$施加自伴或反自伴性。
• 将该框架应用于2D和4D模糊几何，通过八矩阵模型聚焦于洛伦兹和黎曼符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用随机非交换几何系统计算$2n$-维模糊几何的谱作用？
• RQ2 当谱作用表示为具有多项式$f$的随机矩阵模型时，路径积分的形式是什么？
• RQ3 弦图如何在推导出的矩阵模型中确保$N$-无关性和循环不变性？
• RQ4 2D和4D模糊几何的谱作用的显式多项式结构是什么？
• RQ5 如何通过$F$、$A_i$和$B_i$的对称性支持大-$N$极限下的自由概率解释？

主要发现

• 谱作用被重新表述为双迹多矩阵模型，作用量为$S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\, F + \sum_i \mathrm{tr}\, A_i \cdot \mathrm{tr}\, B_i$，其中$F, A_i, B_i$是$2^{2n-1}$个复$N \times N$矩阵的非交换多项式。
• 对于二维模糊几何，谱作用在狄拉克算子上显式计算至六次多项式。
• 对于四维模糊几何，谱作用推导至四次多项式，重点使用八矩阵模型处理洛伦兹和黎曼符号。
• 非交换多项式$F, A_i, B_i$通过弦图构造，确保$N$-无关性和循环不变性。
• 多项式$F$在模循环重排下为自伴，而对每个$i$，$A_i$和$B_i$同时为自伴或反自伴。
• 该作用量结构支持大-$N$极限下的自由概率解释，因其矩阵模型分量的对称性和不变性特性。