[论文解读] Computing the spectral action for fuzzy geometries: from random noncommutative geometry to bi-tracial multimatrix models

Carlos I. Pérez-Sánchez|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 4

一句话总结

该论文使用随机非交换几何计算模糊几何的谱作用，推导出在 $2n$-维狄拉克算符中具有多项式作用的双迹多矩阵模型。在二维中，谱作用的显式公式已推导至六次项；在四维中，推导至四次项，利用弦图构造出与 $N$ 无关的自伴非交换多项式，从而实现自由概率的 $N$-大极限。

ABSTRACT

A fuzzy geometry is a certain type of spectral triple whose Dirac operator crucially turns out to be a finite matrix. This notion was introduced in [J. Barrett, J. Math. Phys. 56, 082301 (2015)] and accommodates familiar fuzzy spaces like spheres and tori. In the framework of random noncommutative geometry, we use Barrett's characterization of Dirac operators of fuzzy geometries in order to systematically compute the spectral action $S(D)= \mathrm{Tr} f(D)$ for $2n$-dimensional fuzzy geometries. In contrast to the original Chamseddine-Connes spectral action, we take a polynomial $f$ with $f(x) o \infty$ as $ |x| o\infty$ in order to obtain a well-defined path integral that can be stated as a random matrix model with action of the type $S(D)=N \cdot \mathrm{tr}\, F+ extstyle\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr} \,B_i $, being $F,A_i $ and $B_i $ noncommutative polynomials in $2^{2n-1}$ complex $N imes N$ matrices that parametrize the Dirac operator $D$. For arbitrary signature---thus for any admissible KO-dimension---formulas for 2-dimensional fuzzy geometries are given up to a sextic polynomial, and up to a quartic polynomial for 4-dimensional ones, with focus on the octo-matrix models for Lorentzian and Riemannian signatures. The noncommutative polynomials $F,A_i $ and $B_i$ are obtained via chord diagrams and satisfy: independence of $N$; self-adjointness of the main polynomial $F$ (modulo cyclic reordering of each monomial); also up to cyclicity, either self-adjointness or anti-self-adjointness of $A_i $ and $B_i $ simultaneously, for fixed $i$. Collectively, this favors a free probabilistic perspective for the large-$N$ limit we elaborate on.

研究动机与目标

• 通过随机非交换几何系统计算 $2n$-维模糊几何的谱作用 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$。
• 通过选择满足 $f(x) \to \infty$ 当 $|x| \to \infty$ 的多项式 $f$，确保路径积分的收敛性，从而导出一个定义良好的路径积分。
• 将谱作用表示为形如 $N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ 的随机矩阵模型，其中 $F, A_i, B_i$ 是 $N \times N$ 矩阵中的非交换多项式。
• 建立所得非交换多项式与 $N$ 无关，并在循环重排下满足自伴性或反自伴性。
• 通过构建具有有利代数与分析性质的模型，为自由概率的大-$N$ 极限奠定基础。

提出的方法

• 利用 Barrett 对模糊几何中狄拉克算符的表征，通过 $2^{2n-1}$ 个复 $N \times N$ 矩阵参数化 $D$。
• 应用弦图系统地计算 $D$ 的幂的迹，如 $\mathrm{Tr}\,D^m$，通过将迹分解为双迹与单迹贡献。
• 将谱作用表示为单迹项 $N \cdot \mathrm{tr}\,F$ 与双迹项 $\sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$ 之和，其中 $F, A_i, B_i$ 为非交换多项式。
• 确保 $F$ 的 $N$-无关性及自伴性（模循环重排），并确保每个 $i$ 下 $A_i$ 与 $B_i$ 在循环下满足自伴或反自伴性，以利于大-$N$ 极限下的自由概率。
• 在二维与四维中显式计算 $\mathrm{Tr}\,D^2$、$\mathrm{Tr}\,D^4$ 与 $\mathrm{Tr}\,D^6$，包括洛伦兹与黎曼符号情形。
• 利用伽马矩阵与矩阵迹的恒等式，将作用量约化为具有整数系数的弦图之和，例如六次项中 $\mathrm{I}$-图有 62 项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用随机非交换几何系统计算 $2n$-维模糊几何的谱作用？
• RQ2 当 $f$ 为满足 $f(x) \to \infty$ 当 $|x| \to \infty$ 的多项式时，谱作用 $S(D) = \mathrm{Tr} f(D)$ 的结构是什么？这能确保路径积分的定义良好吗？
• RQ3 弦图如何通过 $N \times N$ 矩阵中的非交换多项式编码 $\mathrm{Tr}\,D^m$ 的迹结构？
• RQ4 所得多项式 $F, A_i, B_i$ 满足哪些代数与分析性质，特别是关于 $N$-无关性与自伴性？
• RQ5 鉴于推导出的矩阵模型结构，能否通过自由概率分析谱作用的大-$N$ 极限？

主要发现

• 二维模糊几何的谱作用已计算至六次多项式，已推导出一般符号下 $\mathrm{Tr}\,D^2$、$\mathrm{Tr}\,D^4$ 与 $\mathrm{Tr}\,D^6$ 的显式公式。
• 四维模糊几何的谱作用已计算至四次多项式，已推导出黎曼与洛伦兹符号下 $\mathrm{Tr}\,D^2$ 与 $\mathrm{Tr}\,D^4$ 的显式表达式。
• 作用量表示为双迹多矩阵模型：$S(D) = N \cdot \mathrm{tr}\,F + \sum_i \mathrm{tr}\,A_i \cdot \mathrm{tr}\,B_i$，其中 $F, A_i, B_i$ 是 $2^{2n-1}$ 个复 $N \times N$ 矩阵中的非交换多项式。
• 非交换多项式 $F, A_i, B_i$ 与 $N$ 无关，并在循环重排下满足自伴性（或反自伴性），支持自由概率的大-$N$ 极限。
• 弦图为计算 $D$ 的幂的迹提供了系统性的组合框架，其系数为整数，例如六次项中 $\mathrm{I}$-图有 62 项。
• 单迹贡献 $\mathcal{S}_6$ 通过对所有六点弦图求和获得，每张图的贡献通过迹恒等式与矩阵收缩计算。