[论文解读] Computing Topological Persistence for Simplicial Maps

Tamal K. Dey, Fengtao Fan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种高效算法，通过单纯形注记在单调的单纯复形映射序列上计算拓扑持久性，实现无需锯齿状路径的直接计算。关键贡献是提出一种新方法，通过顶点坍缩维持一致的上同调与同调基——此前未被解决的问题——相较于朴素锥化方法，显著提升了性能，尤其在通过图诱导复形近似Rips复形持久性等应用中表现优异。

ABSTRACT

Algorithms for persistent homology and zigzag persistent homology are well-studied for persistence modules where homomorphisms are induced by inclusion maps. In this paper, we propose a practical algorithm for computing persistence under $\mathbb{Z}_2$ coefficients for a sequence of general simplicial maps and show how these maps arise naturally in some applications of topological data analysis. First, we observe that it is not hard to simulate simplicial maps by inclusion maps but not necessarily in a monotone direction. This, combined with the known algorithms for zigzag persistence, provides an algorithm for computing the persistence induced by simplicial maps. Our main result is that the above simple minded approach can be improved for a sequence of simplicial maps given in a monotone direction. A simplicial map can be decomposed into a set of elementary inclusions and vertex collapses--two atomic operations that can be supported efficiently with the notion of simplex annotations for computing persistent homology. A consistent annotation through these atomic operations implies the maintenance of a consistent cohomology basis, hence a homology basis by duality. While the idea of maintaining a cohomology basis through an inclusion is not new, maintaining them through a vertex collapse is new, which constitutes an important atomic operation for simulating simplicial maps. Annotations support the vertex collapse in addition to the usual inclusion quite naturally. Finally, we exhibit an application of this new tool in which we approximate the persistence diagram of a filtration of Rips complexes where vertex collapses are used to tame the blow-up in size.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于计算一般单纯复形映射下的拓扑持久性，该映射推广了包含诱导的过滤。
• 通过避免使用映射柱构造大中间复形，克服朴素锯齿状持久性模拟在计算上的低效性。
• 将基于注记的持久同调技术扩展至处理顶点坍缩，这是一种非包含、非删除操作，对模拟单纯复形映射至关重要。
• 通过图诱导复形（GICs）近似大规模Rips复形的持久图，展示该方法的实用性。
• 为涉及非单调或复杂映射诱导过滤的拓扑数据分析工作负载，提供一种实用且高效的实现。

提出的方法

• 该方法通过一系列基本操作（包含与顶点坍缩）模拟单纯复形映射，利用单纯形注记高效支持这两种操作。
• 注记在整个操作过程中保持一致的上同调基，对偶性确保同调基的一致性。
• 顶点坍缩通过注记更新处理，这是新贡献，因为先前方法仅支持包含操作。
• 该方法避免构造大中间复形（如锥化方法），相比锯齿状持久性模拟，显著降低了空间与时间开销。
• 算法在 $\mathbb{Z}_2$ 系数下运行，利用高效的数据结构对注记单纯形上的二元矩阵操作进行优化。
• 该方法应用于通过构建与原始过滤交错的图诱导复形（GICs）来近似Rips复形的持久性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效计算由一般单纯复形映射连接的过滤的持久同调，而不仅限于包含关系？
• RQ2 如何将顶点坍缩——一种非包含、非删除操作——整合进基于注记的持久同调计算中？
• RQ3 能否避免基于锥化的锯齿状模拟，以降低映射诱导过滤中的计算成本？
• RQ4 与朴素锯齿状持久性相比，基于注记的直接模拟在单纯复形映射上的性能提升如何？
• RQ5 该方法能否通过图诱导复形实现对大规模Rips复形持久图的可扩展近似？

主要发现

• 所提出的算法在单调单纯复形映射下以 $O(n^3)$ 时间复杂度计算持久性，效率与基于包含的持久性计算相当，尽管处理的是非包含映射。
• 成功将顶点坍缩整合进注记框架，实现了对一致上同调基的维护——此前未被解决的挑战。
• 该方法避免了如锥化锯齿模拟中构造大中间复形，显著降低了空间与时间开销。
• 该算法通过构建与原始Rips过滤交错的图诱导复形（GICs），实现了对Rips复形持久性的高效近似。
• 实验结果表明，GICs 的规模远小于完整Rips复形，该方法在大规模拓扑数据分析中实现了空间与时间的实用权衡。
• 已提供名为 SimpPers 的高效实现，展示了其在实际应用中的可行性与相较于现有锯齿状方法的性能优势。