[论文解读] Computing Tree Decompositions with FlowCutter: PACE 2017 Submission

Ben Strasser, Mucha, Marcin+4 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用 10

一句话总结

本论文提出 FlowCutter，一种启发式算法，可在30分钟内计算出小宽度的树分解，提交至 PACE 2017 Track A2。该方法利用基于 FlowCutter 的递归二分法进行多级图划分，以计算节点分离集，将树分解建模为有根的多级划分。该方法在比赛中获得第二名，成功解决所有实例，在大规模图上的解质量与鲁棒性方面优于其他方法。

ABSTRACT

The notion of treewidth, introduced by Robertson and Seymour in their seminal Graph Minors series, turned out to have tremendous impact on graph algorithmics. Many hard computational problems on graphs turn out to be efficiently solvable in graphs of bounded treewidth: graphs that can be sweeped with separators of bounded size. These efficient algorithms usually follow the dynamic programming paradigm. In the recent years, we have seen a rapid and quite unexpected development of involved techniques for solving various computational problems in graphs of bounded treewidth. One of the most surprising directions is the development of algorithms for connectivity problems that have only single-exponential dependency (i.e., 2^{{O}(t)}) on the treewidth in the running time bound, as opposed to slightly superexponential (i.e., 2^{{O}(t log t)}) stemming from more naive approaches. In this work, we perform a thorough experimental evaluation of these approaches in the context of one of the most classic connectivity problem, namely Hamiltonian Cycle.

研究动机与目标

• 弥合理论参数化算法与实际树分解启发式方法之间的差距。
• 开发一种快速、鲁棒且可扩展的算法，在30分钟时限内计算出小宽度的树分解。
• 证明多级图划分技术——最初用于最短路径加速——可被有效重用于树分解。
• 在其他求解器失败或产生次优结果的大规模复杂实例中实现卓越性能。

提出的方法

• 该算法使用 FlowCutter 通过递归二分法计算节点分离集，将图转换为多级划分。
• 将树分解建模为有根的多级划分，其中每个单元对应分解中的一个节点集合。
• 使用 FlowCutter 与节点容量计算节点分离集，以在平衡约束下最小化扩展度。
• 并行运行多个 FlowCutter 实例，采用不同的初始源/目标对，以探索切割质量的帕累托前沿。
• 对于大规模实例，先计算边切割，并通过选择端点将其转换为节点分离集，以确保在时限内取得进展。
• 每30秒更新并输出一次树分解，以避免 I/O 瓶颈，小规模实例的启发式消除顺序预先计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 原本专为最短路径加速设计的多级图划分技术，能否被有效适应用于启发式树分解？
• RQ2 与当前最先进的树分解求解器相比，多级划分方法在大规模复杂图上的性能如何？
• RQ3 在树分解中使用基于流的二分法时，解宽度与计算效率之间存在何种权衡？
• RQ4 单一算法能否在各种图类型与规模下同时实现高解质量与强鲁棒性？
• RQ5 多级划分与有根树分解之间的一一对应关系，在多大程度上能带来新的算法洞见？

主要发现

• FlowCutter 是唯一成功解决 PACE 2017 Track A2 全部 100 个实例的提交方案，展现出无与伦比的鲁棒性。
• 平均而言，FlowCutter 的解宽度仅为最优已知解的 1.08 倍，在平均近似比方面优于所有其他竞争者。
• 在 '≤1' 和 '≤2' 的解质量阈值下，FlowCutter 的成功率分别为 56% 和 50%，优于所有其他求解器。
• 该算法在比赛中获得第二名，而获胜求解器（Tamaki 等人）在平均近似比上仅排名第五。
• 在大规模实例上，FlowCutter 稳定产生高质量解，而比赛优胜者常无法找到解。
• 预先计算启发式消除顺序（最小度与最小填充）可提升小规模实例的解质量，但在大规模实例上不可行。