[论文解读] Computing tropical varieties over fields with valuation

Thomas Markwig, Yue Ren|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文提出一种方法，通过将具有非平凡赋值的域上的热带簇计算问题约化为形式幂级数环上的计算，从而在非平凡赋值的域上计算热带簇。关键贡献在于，当提升后的理想位于可计算子环中时，为齐次理想提供了有限时间算法，使得可利用标准的Gröbner基工具高效计算，避免了齐次化步骤。

ABSTRACT

We show how tropical varieties of ideals I over a field K with non-trivial valuation can be traced back to tropical varieties of ideals in R[[t]][x] over some dense subring R in its ring of integers. Moreover, for homogeneous ideals, we present algorithms on how the latter can be computed in finite time, provided that generators are polynomial in t. While doing so, we also comment on the computation of the Groebner polytope structure and p-adic Groebner bases using our framework. All algorithms solely rely on existing standard basis techniques.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算具有非平凡赋值的域上热带簇的算法框架。
• 将赋值域上热带簇的计算约化为具有平凡赋值的形式幂级数环上的热带簇计算。
• 通过将理想提升到赋值环的可计算子环，实现齐次理想的有限时间计算。
• 避免先前方法中使用的齐次化与去齐次化步骤。
• 在同一框架内提供计算 $p$-进Gröbner基的构造性方法。

提出的方法

• 使用统一参数 $p$ 将具有非平凡赋值的完备域 $K$ 上的理想 $I \unlhd K[x]$ 提升为 $R[[t]][x]$ 上的理想 $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$。
• 通过 $t \mapsto p$ 的同构 $R[[t]][x] \to \mathcal{O}_K[x]$ 转移理想结构。
• 证明在权重序下，$I$ 的热带簇与 $\pi^{-1}I$ 的热带簇同构，并保持首项理想。
• 在 $R[[t]][x]$ 中使用与权重向量 $(-1,w)$ 兼容的单项序，应用标准Gröbner基技术。
• 使用饱和 $I' : p^\infty$ 从 $R[[t]][x]$ 中的生成元计算 $\pi^{-1}I$，其中 $I' = \langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle$。
• 在Singular库 `tropical.lib` 中实现算法，使用 `gfan.lib` 进行凸几何计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过约化到形式幂级数环来计算具有非平凡赋值的域上的热带簇？
• RQ2 如何从 $R[[t]][x]$ 中理想 $\pi^{-1}I \unlhd R[[t]][x]$ 的预像的热带簇恢复 $K[x]$ 中理想 $I \unlhd K[x]$ 的热带簇？
• RQ3 当 $\pi^{-1}I$ 在 $R[t,x]$ 上生成时，是否能够对齐次理想在有限时间内计算其热带簇？
• RQ4 在赋值域的热带化算法中，能否避免齐次化与去齐次化步骤？
• RQ5 如何在此框架内计算 $p$-进Gröbner基？

主要发现

• 具有非平凡赋值的域上理想 $I \unlhd K[x]$ 的热带簇 $\mathcal{T}_\nu(I)$ 同构于其在 $R[[t]][x]$ 中预像 $\pi^{-1}I$ 的热带簇 $\mathcal{T}(\pi^{-1}I)$。
• 对于齐次理想，若 $\pi^{-1}I$ 由 $R[t,x]$ 中的元素生成，则可利用标准Gröbner基方法在有限时间内计算 $\mathcal{T}_\nu(I)$。
• 预像 $\pi^{-1}I$ 等于 $ (\langle g_1', \dots, g_k' \rangle + \langle p-t \rangle) : p^\infty $，从而可从生成元的提升中算法化构造。
• 理想 $J \unlhd R[[t]][x]$ 关于单项序 $>_{(-1,w)}$ 的首项理想 $\operatorname{in}_{>}(J)$ 由 $p$ 和 $\overline{J}$ 的典范代表元的首项生成。
• 该算法通过直接在 $R[[t]][x]$ 中的提升理想上工作，避免了齐次化，简化了计算。
• 该框架通过相同的提升与饱和机制支持 $p$-进Gröbner基的计算。