[论文解读] Computing Wasserstein Distance for Persistence Diagrams on a Quantum Computer

Jesse Berwald, Joel M. Gottlieb+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用 13

一句话总结

本文提出一种基于量子退火的算法，通过将最小费用二分图匹配问题建模为QUBO（二次无约束二元优化）问题，计算持久图之间的Wasserstein距离。该方法将匹配任务映射到D-Wave 2000Q量子处理器上，成功计算出小尺寸图的平方Wasserstein距离，但随着问题规模增大，由于嵌入约束，性能逐渐下降。

ABSTRACT

Persistence diagrams are a useful tool from topological data analysis which can be used to provide a concise description of a filtered topological space. What makes them even more useful in practice is that they come with a notion of a metric, the Wasserstein distance (closely related to but not the same as the homonymous metric from probability theory). Further, this metric provides a notion of stability; that is, small noise in the input causes at worst small differences in the output. In this paper, we show that the Wasserstein distance for persistence diagrams can be computed through quantum annealing. We provide a formulation of the problem as a Quadratic Unconstrained Binary Optimization problem, or QUBO, and prove correctness. Finally, we test our algorithm, exploring parameter choices and problem size capabilities, using a D-Wave 2000Q quantum annealing computer.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算持久图之间Wasserstein距离的量子计算方法，该距离是拓扑数据分析中的关键度量。
• 将支撑Wasserstein距离的最小费用匹配问题转化为适用于量子退火的QUBO形式。
• 在真实硬件上利用D-Wave 2000Q处理器，评估该量子方法的可行性与性能表现。
• 分析关键QUBO参数B对不同问题规模下解的质量与稳定性的影​​响。

提出的方法

• 将Wasserstein距离的计算简化为在构造图G̃上的最小费用二分图匹配问题，G̃表示两个持久图之间点对的关系。
• 在公式(3.5)中构建QUBO哈密顿量H，结合代价项F_c与约束项F_U、F_V，以确保匹配的有效性。
• 设计QUBO使得其基态对应于计算Wasserstein距离所需的最小费用匹配。
• 该公式确保当参数B > B*（即G̃中最大边权）时，最优解对应于正确的Wasserstein距离。
• 该方法在D-Wave 2000Q量子处理器上实现并测试，结果在不同B值与图尺寸下进行分析。
• 通过逻辑量子比特编码问题，物理量子比特链代表逻辑变量，解的质量通过低能量态采样进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 持久图的Wasserstein距离计算能否有效建模为适用于量子退火的QUBO问题？
• RQ2 QUBO中惩罚参数B的选择如何影响量子解的准确度与稳定性？
• RQ3 D-Wave 2000Q使用该方法可可靠计算Wasserstein距离的最大问题规模是多少？
• RQ4 随着图尺寸与B值的增加，解的质量及低能量态的分布如何变化？
• RQ5 影响近期量子处理器性能的硬件限制（如量子比特链断裂、嵌入密度）有哪些？

主要发现

• 对于小规模问题（如3×2图），D-Wave 2000Q成功找到对应于正确最小费用匹配的低能量态，且正确解出现频率较高。
• 当B设置为理论最小值B*时，量子处理器一致返回了正确的Wasserstein距离，验证了QUBO公式的正确性。
• 将B值设置为高于B*时，小规模问题仍能获得正确解，表明对惩罚参数的适度高估具有鲁棒性。
• 随着问题规模增大（如4×3与6×5图），由于嵌入复杂度提高及量子比特链断裂概率上升，解的质量下降。
• 表示逻辑变量所需的物理量子比特数量随图尺寸显著增加，尤其因问题图中节点度数较高，限制了可扩展性。
• 结果表明，尽管量子退火可准确计算小图的Wasserstein距离，但其可扩展性受限于硬件限制，如链断裂与量子比特连通性。