[论文解读] Computing weight one modular forms over $\C$ and $\Fpbar$

Kevin Buzzard|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 12

一句话总结

本文提出了一种系统性的计算方法，用于确定在 $\mathbb{C}$ 和 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的权一模形式 cusp forms，通过模符号（modular symbols）和乘以高权形式来规避在权一的直接计算。关键贡献是发现了在模 199 下，水平为 82 的权一 cusp form，其无法上提至特征零，以及一个对应的 $\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$，且在 2 和 41 外无分歧。

ABSTRACT

We report on a systematic computation of weight one cuspidal eigenforms for the group $Γ_1(N)$ in characteristic zero and in characteristic $p>2$. Perhaps the most surprising result was the existence of a mod 199 weight~1 cusp form of level 82 which does not lift to characteristic zero.

研究动机与目标

• 系统计算 $\Gamma_1(N)$ 在特征零和正特征 $p>2$ 下的权一 cusp forms。
• 识别在模 $p$ 下的模形式，其无法上提至特征零，特别是在此类形式稀少或此前未被观测到的情况下。
• 通过模 $p$ 伽罗瓦表示提供非上提形式的显式 $q$-展开式及其伽罗瓦理论解释。
• 展示通过自守方法计算权一形式的可行性，特别是在伽罗瓦理论方法在正特征下失效时。

提出的方法

• 使用模符号计算权 $k \geq 2$ 的 cusp forms 空间，然后通过乘以一个权 $k \geq 1$ 的非零模形式 $f$，将权一形式映射到高权空间。
• 通过将高权形式除以 $f$ 来构造候选权一形式，允许在 $f$ 的零点处出现极点，并通过在多个 $f$ 的选择下取交集来分离出全纯形式。
• 利用对于固定水平 $N$，该算法可同时计算所有满足 $p \nmid N$ 的奇素数 $p$ 下的模 $p$ 形式，仅需输入 $N$。
• 应用 Khare–Wintenberger 定理，将 $\mathbb{C}$ 上的权一特征形式与具有射影图像 $A_4$、$S_4$ 或 $A_5$ 的伽罗瓦表示联系起来，并利用此方法验证模 $p$ 形式。
• 使用伽罗瓦共轭和约化技术，将模 $p$ 形式与特征零上的提升进行比较，通过 $\mathbb{F}_p$ 中的系数关系识别非上提形式。
• 分析模 $p$ 伽罗瓦表示的像，通过迹条件和子群的指标论证，区分 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ 和 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$ 作为模 $p$ 伽罗瓦表示的射影图像。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个模 $p$ 的权一 cusp form，其水平为 $N$，且无法上提至特征零的特征形式（$p > 2$）？
• RQ2 非上提模 $p$ 权一形式的伽罗瓦理论解释是什么，特别是其关联伽罗瓦表示的射影图像？
• RQ3 通过乘以高权形式并取交集的方法，能否严格计算 $\Gamma_1(N)$ 的全纯权一 cusp forms 空间？
• RQ4 如何区分模 $p$ 伽罗瓦表示的射影图像为 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_p)$ 还是 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$，当该表示来自一个权一形式时？

主要发现

• 存在一个模 199 的权一 cusp form，其水平为 82，且无法上提至特征零，提供了正特征下非上提形式的明确例子。
• 该形式所关联的伽罗瓦表示具有射影图像 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$，且对应的 $\mathbb{Q}$ 的伽罗瓦扩张在 2 和 41 外无分歧。
• 模 199 的形式满足系数关系 $\overline{a}_\ell = a_\ell / \chi(\ell)$，对所有满足 $\ell \neq 2, 41, 199$ 的素数 $\ell$ 成立，其中 $\overline{a}_\ell = a_\ell^{199}$ 为伽罗瓦共轭。
• 通过排除 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{199})$ 的可能性，利用弗罗贝尼乌斯元素特征值的迹和指标论证，证明了伽罗瓦表示的像为 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{199})$。
• 对应于 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{199})$ 的子扩张为 $\mathbb{Q}(\sqrt{41})$，确认了分歧行为和伽罗瓦群的结构。
• 该方法在单次运行中成功计算了 $\Gamma_1(N)$ 在特征零和模 $p$ 下的形式，仅需输入 $N$，并识别出所有存在非上提形式的素数 $p$。