[论文解读] Computing with Classical Real Numbers

Cezary Kaliszyk, Russell O’Connor|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2008

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文建立了 Coq 标准库中的经典实数与 CoRN 中构造性实数之间的同构关系，通过证明经典公理蕴含 Π¹₀ 句子的可判定性。这使得互操作成为可能：Coq 标准库中的策略（例如 fourier）可用于证明 CoRN 中构造性实数的不等式，而 CoRN 的决策程序可验证经典不等式，从而实现在两种形式化系统之间的自动化推理。

ABSTRACT

There are two incompatible Coq libraries that have a theory of the real numbers; the Coq standard library gives an axiomatic treatment of classical real numbers, while the CoRN library from Nijmegen defines constructively valid real numbers. Unfortunately, this means results about one structure cannot easily be used in the other structure. We present a way interfacing these two libraries by showing that their real number structures are isomorphic assuming the classical axioms already present in the standard library reals. This allows us to use O'Connor's decision procedure for solving ground inequalities present in CoRN to solve inequalities about the reals from the Coq standard library, and it allows theorems from the Coq standard library to apply to problem about the CoRN reals.

研究动机与目标

• 通过建立形式同构，解决 Coq 的经典实数（标准库）与构造性实数（CoRN）之间的不兼容性。
• 证明 Coq 实数的经典公理蕴含 Π¹₀ 句子的可判定性，这是实现构造性解释的关键逻辑结果。
• 通过同构关系，使 Coq 标准库策略（例如 fourier）可应用于 CoRN 的构造性实数，实现跨库推理。
• 扩展 CoRN 的决策程序，以自动验证经典不等式，增强构造性环境中的自动化推理能力。

提出的方法

• 从 Coq 经典实数公理中推导逻辑结论，特别是证明在这些公理下 Π¹₀ 句子是可判定的。
• 利用 Π¹₀ 句子的可判定性，将经典存在性证明（在 Prop 中）构造性地转化为集合中的存在性（在 Set 中）。
• 在 Coq 的经典实数与 CoRN 的构造性实数结构之间定义一个保持算术与序关系运算的双射同构。
• 利用同构关系在两种形式化之间翻译不等式与假设，实现策略复用。
• 使用 Coq 的类型系统与集合等价重写机制，实现跨同构的项与目标的翻译机制。
• 利用 Coq 8.2 的集合等价重写功能，优化并自动化翻译过程以提升性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 Coq 标准库中经典实数公理能否被证明蕴含 Π¹₀ 句子的可判定性，从而实现构造性解释？
• RQ2 仅通过经典公理与逻辑推论，是否能够构造性地实现关于实数的经典存在性证明？
• RQ3 如何形式化建立经典与构造性实数结构之间的同构关系，并利用它实现跨库推理？
• RQ4 Coq 标准库策略（例如 fourier）能否被有效应用于 CoRN 的构造性实数形式化中的问题？
• RQ5 CoRN 的决策程序能否用于自动验证经典实数框架中的不等式？

主要发现

• Coq 标准库中经典实数的公理确实蕴含 Π¹₀ 句子的可判定性，这是一个非平凡的结果，对构造性实现具有广泛影响。
• 经典实数满足构造性实数结构的所有公理，从而可与 CoRN 的实数建立形式同构。
• 该同构使得 fourier 策略可自动用于证明 CoRN 中构造性实数的不等式，通过将问题翻译到经典框架中实现。
• 该翻译机制可自动证明一类涉及实数表达式的严格不等式，借助 CoRN 的决策程序实现。
• Π¹₀ 可判定性相关引理已集成至 Coq 8.2 版本的标准库中，而同构关系与翻译策略也将在 CoRN 的下一个版本中发布。
• 该方法支持双向推理：经典定理适用于 CoRN 的实数，且 CoRN 的构造性决策程序可验证经典不等式。