[论文解读] Computing with highly mixed states

Andris Ambainis, Leonard J. Schulman+1 more|ArXiv.org|Mar 29, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 15

一句话总结

本文研究了一种量子计算模型，其中仅有 k 量子比特处于纯态，其余 n−k 个处于最大混合态。研究证明，在此模型中，除非 m = O(k + log n)，否则无法模拟任意 m 量子比特的量子计算，从而确立了在现实初始化约束下混合态量子计算计算能力的根本限制。

ABSTRACT

We consider quantum computing in the k-qubit model where the starting state of a quantum computer consists of k qubits in a pure state and n-k qubits in a maximally mixed state. We ask the following question: is there a general method for simulating an arbitrary m-qubit pure state quantum computation by a quantum computation in the k-qubit model? We show that, under certain constraints, this is impossible, unless m=O(k+ log n).

研究动机与目标

• 确定在仅 k 个量子比特处于纯态而其余处于最大混合态的一量子比特模型中，是否可以模拟任意量子计算。
• 评估在液态 NMR 系统中实现可扩展量子计算的可行性，其中初始化产生低极化的纯态二项分布。
• 研究在存在大量最大混合态量子比特的情况下，少量初始化（洁净）量子比特是否能够实现通用量子计算。
• 建立此类混合态量子计算模型计算能力的理论极限。
• 探索对称群表示与该模型中量子态可区分性之间的联系。

提出的方法

• 分析仅 k 个量子比特处于纯态、n−k 个处于最大混合态的一量子比特模型，将初始态视为固定，唯一输入为量子操作序列。
• 利用对称群的表示理论分析量子态在量子比特置换下的不变性性质。
• 应用在对称群作用下不变子空间的维数界，推导出态可区分性的限制。
• 应用一个关键不等式（引理 7），将群作用下子空间交集的维数与整体维数及不可约表示数量关联起来。
• 利用单位操作保持对称群结构的事实，限制了纠缠或叠加态可生成的程度。
• 基于迹距离和编码态可区分性的概率论论证，表明仅能可靠模拟对数规模的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅 k 个量子比特处于纯态、其余处于最大混合态的模型中，是否可以模拟任意 m 量子比特的量子计算？
• RQ2 给定 k 个洁净量子比特和 n−k 个最大混合态量子比特，此类模拟最多可支持多少个量子比特 m？
• RQ3 为何一洁净量子比特模型（k=1）在超过 O(log n) 个量子比特后无法实现通用量子计算？
• RQ4 对称群的对称性如何约束此混合态模型中量子态的可区分性？
• RQ5 具有一个洁净量子比特的三量子比特模型能否模拟所有 NC1 语言，若不能，为何无法扩展至 QNC1？

主要发现

• 除非 m = O(k + log n)，否则在 k 量子比特纯态模型中无法模拟任意 m 量子比特的量子计算。
• 模拟能力的根本限制源于洁净量子比特的数量以及与 n 的对数缩放关系，使其在大 m 情况下不比经典穷举搜索更高效。
• 关键结果通过对称群的表示理论推导得出，特别是对群作用下不变子空间维数的界定。
• 引理 7 建立了定量界：|dim(X ∩ W_t) − dim(X ∩ Y ∩ W_t)| ≤ √(4cn/M) ⋅ dim W_t，这是证明的核心。
• 编码态的可区分性随 m 指数下降，使得在 O(k + log n) 个量子比特之外的可靠计算成为不可能。
• 尽管存在限制，一个包含一个洁净量子比特的三量子比特寄存器仍可模拟 NC1 中的所有语言，表明该模型中存在非平凡的计算能力。