[论文解读] Computing with Tangles

Martin Grohe, Pascal Schweitzer|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的算法框架，用于计算tangles——一种基于对偶性的抽象结构，其推广了图中k-连通分量及其他组合结构。通过引入固定阶数k的tangles的紧凑数据结构和成员查询预言机，作者实现了对tangle部分的规范树分解的高效计算，从而弥合了结构图论中存在性定理与可实现算法之间的长期鸿沟。

ABSTRACT

Tangles of graphs have been introduced by Robertson and Seymour in the context of their graph minor theory. Tangles may be viewed as describing "k-connected components" of a graph (though in a twisted way). They play an important role in graph minor theory. An interesting aspect of tangles is that they cannot only be defined for graphs, but more generally for arbitrary connectivity functions (that is, integer-valued submodular and symmetric set functions). However, tangles are difficult to deal with algorithmically. To start with, it is unclear how to represent them, because they are families of separations and as such may be exponentially large. Our first contribution is a data structure for representing and accessing all tangles of a graph up to some fixed order. Using this data structure, we can prove an algorithmic version of a very general structure theorem due to Carmesin, Diestel, Harman and Hundertmark (for graphs) and Hundertmark (for arbitrary connectivity functions) that yields a canonical tree decomposition whose parts correspond to the maximal tangles. (This may be viewed as a generalisation of the decomposition of a graph into its 3-connected components.)

研究动机与目标

• 为解决tangles的算法不可解性问题，tangles是分离族的指数级集合，因此难以表示或计算。
• 弥合存在性分解定理（如Carmesin等人、Hundertmark）与基于tangle的分解的可实现算法之间的差距。
• 提供一种紧凑表示所有阶数k的tangles的数据结构，并支持对分离的高效成员查询。
• 证明对于固定k，规范树分解为tangle部分可在多项式时间内计算，从而扩展了先前非构造性结果。
• 将该框架推广至任意整数值对称次模连通函数，适用于图、超图和拟阵。

提出的方法

• 设计一种数据结构，通过分层分解和规范分离选择，紧凑地编码所有阶数k的tangles。
• 实现一个成员查询预言机，对于给定的分离和tangle，可在固定k下以O(poly(n))时间每查询确定‘大边’。
• 将次模函数最小化作为核心子程序，用于计算集合与tangles之间的最左最小分离。
• 通过迭代地使用tangle一致的分离选择和高度缩减启发式方法，对基础树进行细化，构建有向树分解。
• 通过利用tangles与分支分解之间的对偶性，证明所得树分解满足规范性质（如同构扩展）。
• 通过预言机访问，将该框架应用于任意连通函数，确保在图、拟阵和超图中的通用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管tangles（定义为满足一致性条件的分离族）可能具有指数级大小，是否仍能以多项式时间算法表示和计算？
• RQ2 对于固定tangle阶数k，是否能以多项式时间计算给定连通函数的tangle部分规范树分解？
• RQ3 如何高效确定，对于给定分离，其相对于特定tangle的‘大边’是哪一侧，而无需枚举所有tangles？
• RQ4 是否可通过一种通用的、基于预言机的框架，使Carmesin、Diestel、Hundertmark等人的抽象分解定理实现算法化？
• RQ5 为使tangle-based分解在实践中可计算，需要哪些算法子程序（如最小分离计算）？

主要发现

• 作者提出了一种数据结构，可在多项式时间内表示所有阶数k的tangles，并通过成员查询预言机在固定k下以多项式时间回答‘大边’查询。
• 对于大小为n的基集和固定tangle阶数k，tangle部分的规范树分解可在O(n^{O(k)})时间内计算。
• 该框架具有通用性，适用于任意整数值对称次模连通函数，包括图、拟阵和超图中的情形。
• 该构造确保输入结构之间的同构可扩展为结果分解之间的同构，从而保持‘规范’性质。
• 该方法依赖于次模函数最小化，并计算tangles与集合之间的最左最小分离，从而实现高效树分解构造。
• 该结果解决了tangle-based结构理论中的算法鸿沟，将存在性分解定理转化为可实现的算法。