[论文解读] Concave transforms of filtrations and rationality of Seshadri constants

Alex Küronya, Catriona Maclean+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 2

一句话总结

本文建立了截面环上的滤子的凹变换与抽象格点半群的牛顿-奥库诺夫体之间的联系，证明凹变换的子图本身即为一个牛顿-奥库诺夫体。该结果被应用于证明塞沙德里常数的有理性准则：若某条线丛在某次 blows-up 上的体积为有理数（例如当其截面环有限生成时），则其塞沙德里常数为有理数。

ABSTRACT

We show that the subgraph of the concave transform of a multiplicative filtration on a section ring is the Newton--Okounkov body of a certain semigroup, and if the filtration is induced by a divisorial valuation, then the associated graded algebra is the algebra of sections of a concrete line bundle in higher dimension. We use this description to give a rationality criterion for certain Seshadri constants. Along the way we introduce Newton--Okounkov bodies of abstract graded semigroups and determine conditions for their slices to be Newton--Okounkov bodies of subsemigroups.

研究动机与目标

• 将牛顿-奥库诺夫体推广至抽象的格次可消、无挠自由半群，使理论超越子半群嵌入 Z^n 的情形。
• 证明截面环上滤子的凹变换的子图是某个显式半群与代数的牛顿-奥库诺夫体，尤其当滤子来自除子性赋值时。
• 利用 blows-up 曲面上线丛体积的整性，建立塞沙德里常数的有理性准则。
• 在一般半群框架下统一处理滤子牛顿-奥库诺夫体的理论，通过新的几何与代数构造恢复已知结果。
• 为渐近凸半群的体积提供一个积分公式，以受限子半群表示，推广文献中已有结果。

提出的方法

• 为抽象格次可消、无挠自由半群定义牛顿-奥库诺夫体，推广经典构造中从 Z^n 子半群出发的原始方法。
• 引入截面环上滤子的凹变换，并证明其子图是特定半群的牛顿-奥库诺夫体。
• 证明当滤子源于除子性赋值时，其对应的分次代数对应于高维中某条具体线丛的截面。
• 利用富比尼定理与已知体积公式，将凹变换的积分与 blows-up 上线丛的体积联系起来，从而关联到塞沙德里常数。
• 应用文献 [25] 中关于截面环有限生成性的准则，确保体积为有理数，从而推出塞沙德里常数的有理性。
• 建立 blows-up 上线丛为大且 nef 的条件，以保证截面环的有限生成性与体积的有理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿-奥库诺夫体能否被定义在抽象格次可消、无挠自由半群上，而无需嵌入到 Z^n 中？
• RQ2 截面环上滤子的凹变换的子图是否为某个显式半群的牛顿-奥库诺夫体？
• RQ3 在光滑射影曲面上，线丛的塞沙德里常数在何种条件下为有理数？
• RQ4 凹变换的积分如何与塞沙德里常数及 blows-up 上线丛的体积相关联？
• RQ5 塞沙德里常数的有理性是否可由某些 blows-up 上线丛截面环的有限生成性推出？

主要发现

• 乘法滤子的凹变换的子图是某个显式半群的牛顿-奥库诺夫体；当滤子源于除子性赋值时，它对应于高维中某条具体线丛的牛顿-奥库诺夫体。
• 对于光滑射影曲面，若 blows-up 曲面 $\widetilde{X}$ 上线丛 $\widetilde{L}$ 的体积为有理数（例如当 $R(\widetilde{X}, \widetilde{L})$ 有限生成时），则塞沙德里常数 $\varepsilon(L;x)$ 为有理数。
• 积分 $\iota(L;x) = \int_{\Delta_{Y_\bullet}(L)} \phi_{v_x}$ 满足 $\iota(L;x) \geq \frac{\varepsilon(L;x)^{n+1}}{(n+1)! \cdot (L^n)}$，当 $\varepsilon(L;x) = \mu(L;x)$ 时取等。
• 若 $\varepsilon(L;x)$ 为无理数，则 $\iota(L;x)$ 也为无理数，因此 $\iota(L;x)$ 的有理性蕴含 $\varepsilon(L;x)$ 的有理性。
• 当 $\varepsilon(L;x) < b < \varepsilon(L-K_X;x) - 2$ 对某个整数 $b$ 成立，且 $\widetilde{L} - K_{\widetilde{X}}$ 为大且 nef 时，则 $\varepsilon(L;x)$ 为有理数。
• 特别地，若 $\varepsilon(-K_X) \geq 3$，则存在这样的整数 $b$，因此无需知晓 blows-up 上负曲线的信息，即可推出 $\varepsilon(L;x)$ 为有理数。