[论文解读] Concentrating Bound States for Kirchhoff type problems in ${\R^3}$ involving critical Sobolev exponents

Yi He, Gongbao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文在 $\r^3$ 中建立了具有临界Sobolev增长（$u^5$）和具有局部极小值的势函数 $V(z)$ 的Kirchhoff型方程弱解的存在性与集中性。通过变分方法，包括极小极大定理和Ljusternik-Schnirelmann理论，证明了当小参数 $\varepsilon > 0$ 时，解会集中在 $V(z)$ 的局部极小点附近，且当 $V$ 的极小点集具有非平凡拓扑时，存在多个解。

ABSTRACT

We study the concentration and multiplicity of weak solutions to the Kirchhoff type equation with critical Sobolev growth \[\left\{\begin{gathered} - \Bigl({\varepsilon ^2}a + \varepsilon b\int_{\R^3} {{{\left| { abla u} ight|}^2}} \Bigr)Δu + V(z)u = f(u) + {u^5}{ ext{in}}{\R^3}, \hfill u \in {H^1}({\R^3}),{ ext{}}u > 0{ ext{in}}{\R^3}, \hfill \\ \end{gathered} ight.\] where $\varepsilon $ is a small positive parameter and $a,b > 0$ are constants, $f \in {C^1}({\R^ +},\R)$ is subcritical, $V:{\R^3} o \R$ is a locally Hölder continuous function. We first prove that for ${\varepsilon_0} > 0$ sufficiently small, the above problem has a weak solution ${u_\varepsilon}$ with exponential decay at infinity. Moreover, ${u_\varepsilon}$ concentrates around a local minimum point of $V$ in $Λ$ as $\varepsilon o 0$. With minimax theorems and Ljusternik-Schnirelmann theory, we also obtain multiple solutions by employing the topology construct of the set where the potential $V\left(z ight)$ attains its minimum.

研究动机与目标

• 在 $\r^3$ 中建立具有临界非线性项 $u^5$ 的Kirchhoff型方程弱解的存在性。
• 研究当小参数 $\varepsilon \to 0^+$ 时解的集中行为，特别是其在势函数 $V(z)$ 局部极小点附近的集中特性。
• 通过分析 $V(z)$ 达到其最小值的集合的拓扑结构，证明解的多重性。
• 通过改进的变分技术，克服三维空间中临界Sobolev指数 $5$ 所导致的紧性缺失问题。

提出的方法

• 采用基于能量泛函 $J_\varepsilon(u) = \frac{\varepsilon^2 a}{2} \int_{\r^3} |\nabla u|^2 + \frac{\varepsilon b}{2} \left( \int_{\r^3} |\nabla u|^2 \right)^2 + \frac{1}{2} \int_{\r^3} V(z) u^2 - \int_{\r^3} F(u) - \frac{1}{6} \int_{\r^3} u^6$ 的变分框架。
• 利用Nehari流形及在 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上的约束极小化方法，寻找 $J_\varepsilon$ 的临界点。
• 将Ljusternik-Schnirelmann范畴理论应用于集合 $M_\delta \subset \Lambda$（其中 $V$ 达到其最小值），以推导出多个解。
• 通过一致估计与集中紧性论证，证明 $J_\varepsilon$ 在 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上满足 $(P.S.)$ 条件。
• 通过缩放方法证明集中性：$v_\varepsilon(z + y_n) \to \tilde{v}$ 在 $H^1(\r^3)$ 中收敛，且 $\varepsilon y_n \to y \in M$，即 $V$ 的极小点集。
• 利用集中紧性原理与 $|v_\varepsilon(z + y_n)|^6$ 的一致可积性，证明解在无穷远处趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\r^3$ 中，当 $\varepsilon > 0$ 足够小时，具有临界增长 $u^5$ 的Kirchhoff型方程在何种条件下存在弱解？
• RQ2 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，解如何集中？它们相对于势函数 $V(z)$ 的分布特征是什么？
• RQ3 当 $V(z)$ 达到其最小值的集合具有何种拓扑性质时，能保证存在多个解？
• RQ4 在缺乏大参数 $\lambda$ 的情况下，能否处理临界增长 $u^5$？非局部项对分析有何影响？
• RQ5 次临界非线性项 $f(u)$ 在与临界增长结合时，其在保证解存在性方面起到何种作用？

主要发现

• 当 $\varepsilon > 0$ 足够小时，问题在 $H^1(\r^3)$ 中至少存在一个弱解 $u_\varepsilon$，且其在无穷远处具有指数衰减性。
• $u_\varepsilon$ 在 $\varepsilon \to 0^+$ 时集中于 $\Lambda$ 中 $V(z)$ 的局部极小点附近，且满足 $\varepsilon y_n \to y \in M$，其中 $M$ 为 $V$ 的极小点集。
• 弱解的数量下界由集合 $M_\delta \subset \Lambda$ 的Ljusternik-Schnirelmann范畴决定，该集合是 $V$ 达到其最小值的位置。
• 当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，解的能量水平收敛于 $c_{V_0}$，即Nehari流形上能量泛函的下确界。
• 对于小的 $\varepsilon$，$J_\varepsilon$ 在 $\widetilde{\mathcal{N}}_\varepsilon$ 上满足 $(P.S.)$ 条件，从而通过极小极大方法可保证临界点的存在性。
• 缩放序列 $v_\varepsilon(z + y_n)$ 在 $H^1(\r^3)$ 中强收敛于非零极限 $\tilde{v} \in H^1(\r^3) \setminus \{0\}$，证实了解的集中性。