[论文解读] Concentration inequalities for disordered models

Frédérique Watbled|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用关于鞅差分的广义霍夫丁不等式，建立了无序钉扎模型和随机环境中定向聚合物的自由能指数集中不等式。在最小矩条件（无序项具有有限指数矩）下，证明了即使在无高斯或对数索波列夫假设的情况下，自由能仍会紧密集中在其均值附近，从而实现了对聚合物末端位置的精确大偏差估计。

ABSTRACT

We use a generalization of Hoeffding's inequality to show concentration results for the free energy of disordered pinning models, assuming only that the disorder has a finite exponential moment. We also prove some concentration inequalities for directed polymers in random environment, which we use to establish a large deviations results for the end position of the polymer under the polymer measure.

研究动机与目标

• 在不依赖高斯性或对数索波列夫不等式等强假设的前提下，建立无序钉扎模型与定向聚合物模型自由能的集中不等式。
• 将霍夫丁型不等式推广至仅具有无序项有限指数矩的无序系统中产生的鞅差分序列。
• 利用自由能的集中性，推导出在聚合物测度下定向聚合物末端位置的大偏差原理。
• 证明在无序项的弱矩条件下，退火自由能具有自平均性，并具备指数尾部界。

提出的方法

• 利用鞅差分的霍夫丁不等式推广，控制自由能的累积量生成函数。
• 应用对数配分函数 $ \ln Z_n $ 的指数矩界，证明 $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $ 对所有 $ t \in [0,1] $ 成立，其中 $ K $ 依赖于 $ \beta $、$ h $ 以及 $ \eta $ 的矩生成函数。
• 建立 $ \mathbb{E} \ln Y_n $ 的超可加性，其中 $ Y_n $ 是围绕 $ nx $ 的路径上的加权期望，以证明退火自由能极限的存在性。
• 使用拉普拉斯方法与变分分析，推导出控制聚合物末端大偏差的速率函数 $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $。
• 应用贝尔-坎特利引理与 $ L^p $ 中的几乎必然收敛，证明 $ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ 几乎必然且在 $ L^p $ 中成立。
• 通过极限 $ I_\beta(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} + p(\beta) $ 推导出大偏差速率函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅对无序项具有有限指数矩的条件下，是否可以在不假设高斯性或对数索波列夫不等式的情况下，建立无序模型中自由能的测度集中性？
• RQ2 在最小矩条件下，$ \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) $ 的精确尾部行为是什么？
• RQ3 自由能的集中性如何导致在聚合物测度下定向聚合物末端位置的大偏差？
• RQ4 聚合物末端大偏差的速率函数是什么？它与退火自由能及累积量生成函数有何关联？

主要发现

• 自由能 $ \frac{1}{n} \ln Z_n $ 满足指数集中界 $ \mathbb{P}\left( \left| \frac{1}{n}(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n) \right| > x \right) \leq \exp\left( -\frac{n x^2}{4K} \right) $，当 $ x \in (0, 2K] $ 时成立，且当 $ x > 2K $ 时为 $ \exp(-n(x - K)) $，其中 $ K = 2 \max(e^{h + \lambda(\beta)}, 1) \times \max(e^{-h + \lambda(-\beta)}, 1) $。
• 对 $ \ln Z_n $ 的累积量生成函数有界：对所有 $ t \in [0,1] $，有 $ \mathbb{E} \exp(\pm t(\ln Z_n - \mathbb{E} \ln Z_n)) \leq \exp(nKt^2) $，证明了在弱矩条件下的紧密集中性。
• 聚合物末端 $ S_n $ 的大偏差速率函数为 $ I_\beta(x) = \sup_{\lambda > 0} \left( p(\beta) - \phi_\lambda(x) \right) $，该函数在单位球 $ B_d $ 上是凸的且下半连续的。
• 极限 $ \frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n \mathbf{1}_{\|S_n - nx\|_1 \leq n\varepsilon} \to L_\beta(x,\varepsilon) $ 几乎必然且在所有 $ p \geq 1 $ 的 $ L^p $ 中成立，其中 $ L_\beta(x,\varepsilon) = l_\beta(x,\varepsilon) - p(\beta) $，而 $ l_\beta(x,\varepsilon) $ 是 $ \frac{1}{n} \mathbb{E} \ln Y_n $ 的极限。
• 速率函数 $ I_\beta(x) $ 是 $ L_\beta(x,\varepsilon) $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时的极限，且满足 $ \mathbb{P}\text{-a.s.} \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} \ln \mathbf{E}_n e^{-\lambda \|S_n - x_n\|_1} = p(\beta) - \phi_\lambda(x) $，当 $ x_n/n \to x $ 时成立。