[论文解读] Concentration of quantum states from quantum functional and transportation cost inequalities

Cambyse Rouzé, Nilanjana Datta|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 55被引用 52

一句话总结

本论文使用量子 Wasserstein 距离定义量子运输成本不等式 TC1 和 TC2，建立它们与 MLSI 与 Poincaré 不等式的关系，并推导不变量子态的集中性结果，应用于去极化半群和有限块长度量子参数估计。

ABSTRACT

Quantum functional inequalities (e.g. the logarithmic Sobolev- and Poincar\\'e inequalities) have found widespread application in the study of the behavior of primitive quantum Markov semigroups. The classical counterparts of these inequalities are related to each other via a so-called transportation cost inequality of order 2 (TC2). The latter inequality relies on the notion of a metric on the set of probability distributions called the Wasserstein distance of order 2. (TC2) in turn implies a transportation cost inequality of order 1 (TC1). In this paper, we introduce quantum generalizations of the inequalities (TC1) and (TC2), making use of appropriate quantum versions of the Wasserstein distances, one recently defined by Carlen and Maas and the other defined by us. We establish that these inequalities are related to each other, and to the quantum modified logarithmic Sobolev- and Poincar\\'e inequalities, as in the classical case. We also show that these inequalities imply certain concentration-type results for the invariant state of the underlying semigroup. We consider the example of the depolarizing semigroup to derive concentration inequalities for any finite dimensional full-rank quantum state. These inequalities are then applied to derive upper bounds on the error probabilities occurring in the setting of finite blocklength quantum parameter estimation.

研究动机与目标

• 将经典的运输成本和泛函不等式扩展到量子域，使用量子 Wasserstein 距离。
• 研究量子 TC1、TC2、MLSI 与 Poincaré 不等式之间的关系及其对集中性的含义。
• 获得量子马尔科夫半群不变态的集中界（高斯型和指数型）。
• 将集中性结果应用于有限块长度条件下的量子态参数估计。

提出的方法

• 利用适当的算子工具和模态理论引入阶数为 1 和 2 的量子 Wasserstein 距离。
• 定义 Dirichlet 形式以及量子梯度/散度以表述量子 MLSI 与 Poincaré 不等式。
• 证明一系列蕴涵关系：TC2 蕴含 TC1；MLSI 蕴含 TC2；TC2 蕴含 Poincaré；并推导相应的集中结果。
• 建立量子 de Bruijn 恒等式将熵产生与 Dirichlet 形式联系起来。
• 对具备满秩不变态的原始量子马尔科夫半群进行特化，并给出发生子的结构形式（GKLS）。
• 以去极化半群作为具体例子，说明满秩态的集中性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在量子设置中使用量子 Wasserstein 距离定义 TC1 和 TC2？
• RQ2 量子 TC1/TC2 如何与量子 MLSI 和量子 Poincaré 不等式相关？
• RQ3 量子运输成本不等式是否对量子马尔科夫半群的不变态造成集中性现象？
• RQ4 有哪些具体的量子示例（例如去极化半群）能说明这些量子集中结果？
• RQ5 如何利用这些结果来界定有限块长度下的量子参数估计误差上界？

主要发现

• 在量子 setting 中定义了 TC1 与 TC2 的量子类比，并将其与 MLSI 和 Poincaré 不等式相关联。
• 建立了一系列蕴涵关系：TC2 蕴含 TC1；MLSI 蕴含 TC2；TC2 蕴含 Poincaré（PI）。
• 该框架给出量子马尔科夫半群不变态的高斯型和指数型集中界。
• 通过去极化半群来说明集中结果，为有限维满秩量子态给出界。
• 发展了有限块长度量子参数估计的应用，给出误差概率的上界。