[论文解读] Concentration of risk measures: A Wasserstein distance approach

L. A. Prashanth, Sanjay P. Bhat|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于Wasserstein距离的统一框架，用于推导两类广泛分布下风险度量经验估计的集中性界，涵盖CVaR、CPT-value和谱风险度量等。通过将估计误差与Wasserstein距离关联，并利用近期的集中性结果，该框架在次高斯分布、次指数分布和重尾分布下，提供了更紧致或与现有结果相当的界，其应用涵盖随机多臂赌博机问题。

ABSTRACT

This paper presents a unified approach based on Wasserstein distance to derive concentration bounds for empirical estimates for a broad class of risk measures. The results cover two broad classes of risk measures which are defined in the paper. The classes of risk measures introduced include include as special cases well known risk measures from the finance literature such as conditional value at risk (CVaR), spectral risk measures, utility-based shortfall risk, cumulative prospect theory (CPT) value, and rank dependent expected utility. Two estimation schemes are considered, one for each class of risk measures. One estimation scheme involves applying the risk measure to the empirical distribution function formed from a collection of i.i.d. samples of the random variable (r.v.), while the second scheme involves applying the same procedure to a truncated sample. The bounds provided apply to three popular classes of distributions, namely sub-Gaussian, sub-exponential and heavy-tailed distributions. The bounds are derived by first relating the estimation error to the Wasserstein distance between the true and empirical distributions, and then using recent concentration bounds for the latter. Previous concentration bounds are available only for specific risk measures such as CVaR and CPT-value. The bounds derived in this paper are shown to either match or improve upon previous bounds in cases where they are available. The usefulness of the bounds is illustrated through an algorithm and the corresponding regret bound for a stochastic bandit problem involving a general risk measure from either of the two classes introduced in the paper.

研究动机与目标

• 为解决在CVaR和CPT-value等特定情况之外，缺乏对经验风险度量估计的一般性集中性界的问题。
• 通过引入两个广泛类别的风险度量，统一分析框架，使主要的金融风险度量可作为特例包含在内。
• 在完整采样和截断采样两种方案下，推导经验风险估计的有限样本集中性界。
• 通过将Wasserstein距离作为真实分布误差的桥梁，将现有集中性结果扩展至重尾分布。
• 通过一个基于所推导风险度量集中性界的随机多臂赌博机算法，展示其实际应用价值。

提出的方法

• 利用Wasserstein距离将风险度量的估计误差与真实分布和经验分布的累积分布函数之间的距离联系起来。
• 应用在独立同分布采样下，真实分布与经验分布之间Wasserstein距离的近期集中性界结果。
• 通过将Wasserstein集中性结果与所引入两类风险度量的Lipschitz性质组合，推导出风险度量的集中性界。
• 考虑两种估计方案：一种使用完整的经验分布，另一种使用截断版本以增强鲁棒性。
• 通过利用各类分布已知的Wasserstein集中性速率，将框架扩展至三类分布——次高斯分布、次指数分布和重尾分布。
• 将所提边界应用于随机多臂赌博机场景，其中风险度量指导动作选择，并推导出相应的遗憾界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一框架，用于推导超越CVaR或CPT-value等特定实例的广泛风险度量的集中性界？
• RQ2 真实分布与经验分布之间的Wasserstein距离如何与一般风险度量的估计误差相关联？
• RQ3 所推导的边界在多大程度上优于或等同于已知风险度量（如CVaR和CPT-value）的现有边界？
• RQ4 在不同尾部行为下（包括次高斯分布、次指数分布和重尾分布），这些边界的表现如何？
• RQ5 所推导的集中性边界能否有效用于推导采用一般风险度量的随机多臂赌博机设置下的遗憾边界？

主要发现

• 所提出的框架为两类广泛的风险度量提供了集中性界，涵盖CVaR、谱风险度量、基于效用的短缺风险、CPT-value以及基于排序的期望效用。
• 通过将估计误差与真实分布和经验分布之间的Wasserstein距离关联，使得近期集中性结果得以应用。
• 对于次高斯分布和次指数分布，所推导的边界在CVaR和CPT-value等特定风险度量上，与现有结果相当或更优。
• 通过利用已知的Wasserstein集中性速率，该框架可扩展至重尾分布，而此前此类分布的边界受限或不可用。
• 边界适用于完整和截断的经验分布，增强了在重尾设定下的鲁棒性。
• 开发了一种随机多臂赌博机问题的算法，所推导的风险度量集中性界导出一个非渐近遗憾界，展示了其实际应用价值。