[论文解读] Concentration phenomena for the nonlocal Schrödinger equation with Dirichlet datum

Juan Dávila, Manuel del Pino+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems被引用 3

一句话总结

本文构建了在小参数 $\varepsilon \to 0$ 时于内部点处集中的一类非局部薛定谔方程的解，其边界条件为狄利克雷条件。通过变分约化方法，证明了集中点最小化一个约化能量泛函，其主导项随到边界距离的多项式尺度变化——这与经典情况下的指数尺度不同——这是由于非局部效应所致。关键结果是存在一个解 $U_\varepsilon$，其近似于一个缩放后的基态，误差为 $O(\varepsilon^{n+2s})$，且集中点在边界上均匀远离。

ABSTRACT

For a smooth, bounded domain $Ω$, $s\in(0,1)$, $p\in \left(1,\frac{n+2s}{n-2s} ight)$ we consider the nonlocal equation $$ ε^{2s} (-Δ)^s u+u=u^p \quad {\mbox{in}}Ω$$ with zero Dirichlet datum and a small parameter $ε>0$. We construct a family of solutions that concentrate as $ε o 0$ at an interior point of the domain in the form of a scaling of the ground state in entire space. Unlike the classical case $s=1$, the leading order of the associated reduced energy functional in a variational reduction procedure is of polynomial instead of exponential order on the distance from the boundary, due to the nonlocal effect. Delicate analysis is needed to overcome the lack of localization, in particular establishing the rather unexpected asymptotics for the Green function of $ ε^{2s} (-Δ)^s +1$ in the expanding domain $ε^{-1}Ω$ with zero exterior datum.

研究动机与目标

• 建立有界区域 $\Omega$ 中非局部薛定谔方程 $\varepsilon^{2s}(-\Delta)^s U + U = U^p$ 的解的存在性，使得当 $\varepsilon \to 0$ 时解在内部点处集中。
• 通过变分约化导出的约化能量泛函，刻画集中点的位置。
• 分析非局部算子 $(-\Delta)^s + 1$ 在扩张区域中格林函数和罗宾函数的渐近行为，克服非局部算子固有的非局部化缺陷。
• 证明能量展开的主导项随到边界的距离呈多项式尺度变化——与经典情况下的指数尺度形成对比——这是由于分数阶拉普拉斯算子的非局部性质所致。

提出的方法

• 通过缩放 $u(x) = U(\varepsilon x)$ 将原问题变换，将区域移至 $\Omega_\varepsilon = \Omega / \varepsilon$，从而得到一个在扩张区域中具有固定算子 $(-\Delta)^s + 1$ 的问题。
• 使用一阶近似 $\bar{u}_\xi$ 作为线性问题 $(-\Delta)^s \bar{u}_\xi + \bar{u}_\xi = w_\xi^p$ 在 $\Omega_\varepsilon$ 中的解，其外部数据为零，其中 $w_\xi(x) = w(x - \xi)$，$w$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的基态。
• 应用拉普拉斯-施密特约化，将问题约化为寻找约化泛函 $H_\varepsilon(\xi)$ 的临界点，该泛函控制集中点的位置。
• 估计能量展开 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$，其中 $H_\varepsilon(\xi)$ 涉及格林函数的正则部分，捕捉非局部相互作用。
• 利用屏障方法和罗宾函数 $H_\varepsilon(x, \xi)$ 的比较原理，对均匀远离边界的 $\xi$ 建立精确的多项式界 $\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$，其中 $\alpha, \beta > 0$ 与 $\varepsilon$ 无关。
• 利用近期建立的 $\mathbb{R}^n$ 中基态 $w$ 的非退化性，验证拉普拉斯-施密特约化，并确保在近似解 $\bar{u}_{\xi_\varepsilon}$ 附近存在唯一解。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数阶拉普拉斯算子的非局部性如何影响具有狄利克雷数据的薛定谔方程解的集中形态和集中位置？
• RQ2 在扩张区域中，算子 $(-\Delta)^s + 1$ 的格林函数和罗宾函数的渐近行为如何？与经典情况有何不同？
• RQ3 为何在非局部情况下，能量展开的主导项随到边界的距离呈多项式尺度变化，而在经典情况下呈指数尺度变化？
• RQ4 尽管缺乏局部化和存在非局部相互作用，变分约化方法是否仍可成功用于构造非局部方程的集中解？
• RQ5 集中点的精确位置是什么？它如何由区域的几何结构和非局部能量泛函决定？

主要发现

• 对于充分小的 $\varepsilon > 0$，存在一个解 $U_\varepsilon$ 满足非局部薛定谔方程，其在内部点 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 处集中，且满足 $\|U_\varepsilon(x) - w\left(\frac{x - \tilde{\xi}_\varepsilon}{\varepsilon}\right)\|_{L^\infty} \leq C \varepsilon^{n+2s}$，其中 $C$ 与 $\varepsilon$ 和 $\Omega$ 无关。
• 集中点 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 在边界上均匀远离，满足 $\text{dist}(\tilde{\xi}_\varepsilon, \partial\Omega) \geq c > 0$，其中 $c$ 为与 $\varepsilon$ 无关的常数。
• 集中点 $\tilde{\xi}_\varepsilon$ 被表征为泛函 $H_\varepsilon(\xi)$ 的极小化点，误差阶为 $O(\varepsilon^{n+4s})$，其中 $H_\varepsilon(\xi)$ 通过 $\Omega_\varepsilon$ 中格林函数的正则部分定义。
• 泛函 $H_\varepsilon(\xi)$ 满足精确的多项式界 $\alpha / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s} \leq H_\varepsilon(\xi) \leq \beta / \text{dist}(\xi, \partial \Omega_\varepsilon)^{n+4s}$，其中 $\xi$ 距边界至少距离 5，且 $\alpha, \beta > 0$ 与 $\varepsilon$ 无关。
• 能量展开 $I_\varepsilon(\bar{u}_\xi) = I_0 + \frac{1}{2} H_\varepsilon(\xi) + o(\varepsilon^{n+4s})$ 揭示，非局部效应导致到边界的距离呈多项式衰减，与经典情况 $s=1$ 下的指数衰减形成鲜明对比。
• 证明依赖于对格林函数和罗宾函数 $H_\varepsilon(x, \xi)$ 的精细分析，通过屏障构造和比较原理控制扩张区域 $\Omega_\varepsilon$ 中的非局部相互作用。