[论文解读] Concentration phenomenon for fractional nonlinear Schrödinger equations

Guoyuan Chen, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 41被引用 36

一句话总结

该论文研究了当 $\varepsilon \to 0$ 时，带有非局部算子 $(-\varepsilon^2\Delta)^s$ 的分数阶非线性薛定谔方程解的集中现象。通过李雅普诺夫-施密特约化方法，证明了在 $n=1,2,3$，$\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$，且 $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$ 的条件下，其中 $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$ 当 $s < \frac{n}{2}$ 时，否则为 $\infty$，在势函数 $V$ 的非退化临界点处存在非平凡解的集中。

ABSTRACT

We study the concentration phenomenon for solutions of the fractional nonlinear Schrödinger equation, which is nonlocal. We mainly use the Lyapunov-Schmidt reduction method. Precisely, consider the nonlinear equation \begin{equation}\label{e:abstract} (-\varepsilon^2Δ)^sv+Vv-|v|^αv=0\quad\mbox{in}\quad\mathbf R^n, \end{equation} where $n =1, 2, 3$, $\max\{\frac{1}{2}, \frac{n}{4}\}&lt; s &lt; 1$, $1 \leq α&lt; α_*(s,n)$, $V\in C^3_{b}(\mathbf{R}^n)$. Here the exponent $α_*(s,n)=\frac{4s}{n-2s}$ for $0 &lt; s &lt; \frac{n}{2}$ and $α_*(s,n)=\infty$ for $s \geq\frac{n}{2}$. Then for each non-degenerate critical point $z_0$ of $V$, there is a nontrivial solution of equation ( ef{e:abstract}) concentrating to $z_0$ as $\varepsilon o 0$.

研究动机与目标

• 研究带有非局部算子的分数阶非线性薛定谔方程解的集中现象。
• 在 $\varepsilon \to 0$ 时，建立在势函数 $V$ 的非退化临界点处存在非平凡解的集中性。
• 将李雅普诺夫-施密特约化方法推广至非局部方程的分数阶情形。
• 在 $V$ 和非线性项满足正则性与增长条件的前提下，分析小 $\varepsilon$ 极限下解的行为。

提出的方法

• 将李雅普诺夫-施密特约化方法应用于方程 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ 在 $\mathbf{R}^n$ 上的解。
• 通过极限问题 $(-\Delta)^s u + u = |u|^\alpha u$ 的缩放基态 $u_0$ 构造形式渐近展开。
• 将解分解为主部 $u_{z,\varepsilon}$（以 $z$ 为中心）与修正项 $\phi_{z,\varepsilon}$，并通过投影方程控制后者。
• 在加权的 $H^{2s}$-型空间中进行约化，并利用隐函数定理证明投影方程的可解性。
• 利用 $u_0$ 的衰减性质与 $V$ 的正则性，推导误差项 $e_1, e_2, e_3$ 的估计，对涉及 $\rho = \varepsilon^{-\lambda}$ 的范数进行精细控制。
• 基于布劳威尔不动点定理的拓扑论证，证明约化解映射存在零点，从而推出解 $v_\varepsilon$ 在 $z_\varepsilon \to 0$ 处集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\varepsilon \to 0$ 时，分数阶非线性薛定谔方程是否存在一个在势函数 $V$ 的非退化临界点处集中的非平凡解？
• RQ2 李雅普诺夫-施密特约化方法能否被适配以处理非局部分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$？
• RQ3 此类集中现象发生的 $s$、$n$ 与 $\alpha$ 的精确条件是什么？
• RQ4 在小 $\varepsilon$ 极限下，解的结构如何表现，特别是解形貌是否收敛于缩放后的基态？
• RQ5 势函数 $V$ 的临界点的非退化性在确保集中解存在性方面起什么作用？

主要发现

• 对于 $V$ 的每个非退化临界点 $z_0$，存在方程 $(-\varepsilon^2\Delta)^s v + Vv - |v|^\alpha v = 0$ 的非平凡解 $v_\varepsilon$，当 $\varepsilon \to 0$ 时在 $z_0$ 处集中。
• 解的形式为 $v_\varepsilon(x) = u_0\left(\frac{x - z_\varepsilon}{\varepsilon}\right) + \phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$，其中 $z_\varepsilon \to 0$ 且 $\|\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}\|_{2s} \to 0$ 当 $\varepsilon \to 0$。
• 修正项 $\phi_{z_\varepsilon,\varepsilon}$ 一致收敛于零，确保解在单个点附近集中。
• 指数 $\alpha$ 必须满足 $1 \leq \alpha < \alpha_*(s,n)$，其中 $\alpha_*(s,n) = \frac{4s}{n-2s}$ 当 $s < \frac{n}{2}$ 时，否则为 $\infty$。
• 该方法依赖于 $V$ 的临界点的非退化性以及极限问题存在唯一且非退化的基态解。
• 分析在条件 $n=1,2,3$，$\max\{\frac{1}{2},\frac{n}{4}\} < s < 1$，且 $V \in C^3_b(\mathbf{R}^n)$ 下成立。