[论文解读] Concepts of trace, determinant and inverse of Clifford algebra elements

Dmitry Shirokov|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文为4维和5维 Clifford代数元素的行列式、迹和逆矩阵给出了显式公式，推广了关于对易生成元的泡利定理。通过使用代数对合（逆序、分量对合、伪厄米对合），推导出闭式表达式，利用分量的分次投影和对称运算，系统地计算这些不变量。

ABSTRACT

In our paper we consider the notion of determinant of Clifford algebra elements. We present some new formulas for determinant of Clifford algebra elements for the cases of dimension 4 and 5. Also we consider the notion of trace of Clifford algebra elements. We use the generalization of the Pauli's theorem for 2 sets of elements that satisfy the main anticommutation conditions of Clifford algebra.

研究动机与目标

• 为4维和5维Clifford代数元素的行列式建立新的显式公式。
• 通过代数对合运算，推广Clifford代数元素的迹和逆的定义。
• 将泡利关于对易生成元的定理推广到Clifford代数中两组此类生成元的情形。
• 提供在代数对合下不变的、可计算的行列式和逆矩阵表达式。
• 通过分次投影和对称运算，统一并阐明低维Clifford代数中不变量的结构。

提出的方法

• 使用Clifford代数元素的标准基 $\mathcal{C}\!\ell(p,q)$，将其分解为秩为 $k$ 的齐次分量 $\stackrel{{\scriptstyle k}}{{U}}$。
• 应用五种代数对合运算：复共轭 $\bar{U}$，逆序 $U^\sim$，分量对合 $U^{\curlywedge}$，伪厄米对合 $U^{\ddagger}$，以及Clifford对合 $U^{\curlywedge\sim}$。
• 通过复合对合的递归定义行列式：对于 $n=4$，有 $\det U = U \cdot U^\sim \cdot (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown}$，并使用额外的运算 $\bigtriangledown$ 和 $\bigtriangleup$ 将其扩展至 $n=5$。
• 利用行列式公式推导逆矩阵：对于 $n=5$，有 $U^{-1} = \frac{U^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown} (UU^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown})^{\bigtriangleup}}{\det U}$。
• 使用运算 $\bigtriangledown$ 和 $\bigtriangleup$ 对偶数部分和奇数部分的分量进行投影和对称化，确保行列式为标量。
• 通过直接计算验证公式，并利用 $\mathcal{C}\!\ell_0 \oplus \mathcal{C}\!\ell_3$ 中中间乘积的中心性，证明行列式的乘法性：$\det(UV) = \det(U)\det(V)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在4维和5维中，Clifford代数元素的行列式是否存在显式的代数表达式？
• RQ2 如何通过共轭运算系统地定义和计算Clifford代数元素的迹和逆？
• RQ3 泡利关于对易生成元的定理能否推广到Clifford代数中两组此类生成元的情形？
• RQ4 分次投影和对称运算在构造如行列式等标量不变量中起什么作用？
• RQ5 当 $n=4$ 时，$\mathcal{C}\!\ell(p,q)$ 中偶数和奇数元素是否存在其他行列式公式？

主要发现

• 对于 $n=4$，行列式为 $\det U = UU^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown}$，其中 $\bigtriangledown$ 是对偶数部分的对称投影。
• 对于 $n=5$，行列式为 $\det U = UU^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown} (UU^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown})^{\bigtriangleup}$，其中 $\bigtriangleup$ 投影奇数部分。
• 逆矩阵的表达式为 $U^{-1} = \frac{U^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown} (UU^\sim (U^{\curlywedge} U^{\sim\curlywedge})^{\bigtriangledown})^{\bigtriangleup}}{\det U}$（$n=5$），分母被识别为标量。
• 对于 $n=4$，存在替代的行列式公式：当 $U$ 为偶数时，$\det U = UU^\sim U^{\sim+}U^+$；当 $U$ 为奇数时，$\det U = UU^\sim U^\sim U$，其中 $+$ 为符号翻转运算。
• 行列式始终为标量（秩-0元素），且公式满足 $\det(UV) = \det(U)\det(V)$，通过中间共轭乘积的中心性得到验证。
• 该方法推广了已知的 $n=1,2,3$ 的结果，并为高维Clifford代数不变量提供了统一的框架。