[论文解读] Concerning the dual group of a dense subgroup

W. W. Comfort, S. U. Raczkowski+1 more|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Topology and Set Theory参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文研究了‘确定’的拓扑阿贝尔群，其中若稠密子群诱导的对偶同态是同胚，则称其确定该群。主要贡献在于证明了每个度量群都是确定的，并进一步表明非度量、非紧致群也可以是确定的，而权至少为非(𝒩)的紧致群则不是。该研究建立了布罗赫拓扑、对偶性与基数不变量之间的联系，特别是将确定性与基数非(𝒩)联系起来。

ABSTRACT

Throughout this Abstract, $G$ is a topological Abelian group and $\hat{G}$ is the space of continuous homomorphisms from $G$ into $T$ in the compact-open topology. A dense subgroup $D$ of $G$ determines $G$ if the (necessarily continuous) surjective isomorphism $\hat{G} woheadrightarrow \hat{D}$ given by $h\mapsto h|D$ is a homeomorphism, and $G$ is determined if each dense subgroup of $G$ determines $G$. The principal result in this area, obtained independently by L. Aussenhofer and M. J. Chasco}, is the following: Every metrizable group is determined. The authors offer several related results, including these. (1) There are (many) nonmetrizable, noncompact, determined groups. (2) If the dense subgroup $D_i$ determines $G_i$ with $G_i$ compact, then $\oplus_i D_i$ determines $Π_i G_i$. In particular, if each $G_i$ is compact then $\oplus_i G_i$ determines $Π_i G_i$. (3) Let $G$ be a locally bounded group and let $G^+$ denote $G$ with its Bohr topology. Then $G$ is determined if and only if ${G^+}$ is determined. (4) Let $non(N)$ be the least cardinal $κ$ such that some $X \subseteq T}$ of cardinality $κ$ has positive outer measure. No compact $G$ with $w(G)\geq non(N)$ is determined; thus if $non(N)=\aleph_1$ (in particular if CH holds), an infinite compact group $G$ is determined if and only if w(G)=ω$. Question. Is there in ZFC a cardinal $κ$ such that a compact group $G$ is determined if and only if $w(G)

研究动机与目标

• 表征哪些拓扑阿贝尔群可通过其稠密子群与对偶性来‘确定’。
• 研究布罗赫拓扑与群确定性之间的关系，特别是在局部有界和紧致群中的情况。
• 确定紧致群不再被确定的基数理论阈值（即非(𝒩)）。
• 探讨是否存在一个统一的基数κ，使得紧致群G被确定当且仅当其权小于κ。
• 考察确定性在群的无限直积与直和下的保持性。

提出的方法

• 利用特征群 $\widehat{G} = \mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})$ 上的紧开拓扑来定义对偶性，并确定稠密子群 $D \leq G$ 何时诱导同胚 $\widehat{G} \to \widehat{D}$。
• 以 Außenhofer-Chasco 定理为基础，该定理指出每个度量群都是确定的。
• 分析群 $G$ 的布罗赫拓扑 $G^+$，证明 $G$ 确定当且仅当 $G^+$ 确定。
• 利用 $\mathbb{T}$ 与 $F^\omega$ 之间的博雷尔同构定理，将基数 $\mathrm{non}(\mathcal{N}(\mathbb{T}))$ 与 $\mathrm{non}(\mathcal{N}(F^\omega))$ 等同。
• 使用基数不变量如 $\mathrm{non}(\mathcal{N})$（即 $\mathbb{T}$ 中具有正外测度的子集的最小基数）来界定非确定紧致群的权。
• 应用集合论拓扑与测度论的结果，特别是在 $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$ 的模型中，分析一致性和独立性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在非度量、非紧致的确定拓扑阿贝尔群？
• RQ2 当每个 $D_i$ 确定其紧致群 $G_i$ 时，是否 $\oplus_i D_i$ 确定 $\Pi_i G_i$？
• RQ3 是否存在一个基数 $\kappa$，使得紧致群 $G$ 被确定当且仅当 $w(G) < \kappa$？
• RQ4 在 ZFC 中，群 $\mathbb{T}^{\aleph_1}$ 与 $F^{\aleph_1}$（$F$ 为满足 $|F| > 1$ 的有限群）是否是非确定的？
• RQ5 有限个确定群的积是否必然确定？

主要发现

• 存在非度量、非紧致的确定拓扑阿贝尔群。
• 若每个稠密子群 $D_i$ 确定其紧致群 $G_i$，则 $\oplus_i D_i$ 确定 $\Pi_i G_i$，特别地，当所有 $G_i$ 均为紧致时，$\oplus_i G_i$ 确定 $\Pi_i G_i$。
• 拓扑阿贝尔群 $G$ 确定当且仅当其布罗赫拓扑 $G^+$ 确定。
• 不存在权满足 $w(G) \geq \mathrm{non}(\mathcal{N})$ 的紧致群 $G$ 是确定的。
• 若 $\mathrm{non}(\mathcal{N}) = \aleph_1$，则无限紧致群 $G$ 被确定当且仅当 $w(G) = \omega$。
• 存在一个基数 $\kappa$，使得 $G$ 被确定当且仅当 $w(G) < \kappa$ 的存在性在 ZFC 中是一致的，且 $\kappa = \mathrm{non}(\mathcal{N})$ 是一个候选，但无法仅在 ZFC 中证明。