[论文解读] Concerns with functional depth

James Kuelbs, Joel Zinn|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 19被引用 17

一句话总结

本文研究了在无限维空间中函数深度度量（特别是Tukey的半空间深度和单纯形深度）的失效问题，表明在真实深度为正的点上，经验深度几乎必然为零。作者指出，由于数据中存在类似独立性的结构，导致一致性失效，并提出可能需要通过平滑处理来恢复有意义的深度估计。

ABSTRACT

We study some problems inherent with certain forms of functional depth, in particular, zero depth and lack of consistency.

研究动机与目标

• 识别无限维数据下函数深度度量出现零深度与不一致的根本原因。
• 分析半空间深度与单纯形深度严格为正或几乎必然为零的条件。
• 证明即使真实深度为正，经验深度估计值也几乎必然为零。
• 探讨i.i.d.数据中类似独立性的结构对深度一致性的影响，以及平滑处理的潜在作用。

提出的方法

• 在无限维Banach空间中，对Tukey的半空间深度与单纯形深度进行理论分析，特别关注具有无限维支撑的高斯测度。
• 应用U统计量的大数定律，研究经验深度估计量的收敛性。
• 运用Borel-Cantelli引理，证明对固定的 $ a $，$ Z_{n,k}(a) = 0 $ 在 $ k $ 上无限次发生，从而推出 $ ext{inf}_k Z_{n,k}(a) = 0 $ 几乎必然。
• 利用Rademacher级数尾部估计与i.i.d.序列的性质，推导出深度为正的显式公式。
• 通过投影 $ heta_k $ 将 $ heta_k(X) $ 映射到 $ bR^d $，并分析 $ bR^d $-值投影中的深度。
• 采用对所有 $ k $ 取归一化包含点 $ a $ 的单纯形数量的下确界作为函数深度估计量，表明其无法收敛到真实深度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维空间中，Tukey的半空间深度在哪些点上严格为正，又在何时几乎必然为零？
• RQ2 为何在真实深度为正的点上，经验半空间深度几乎必然为零？
• RQ3 i.i.d.函数型数据中，其独立性结构在多大程度上导致经验深度估计量出现零值？
• RQ4 能否恢复经验深度估计量的一致性？若能，需在何种条件下或通过何种修改？
• RQ5 在无限维设定下，$ bR^rown $ 中单纯形深度的性质与半空间深度的性质有何异同？

主要发现

• 真实半空间深度仅在一组特殊点上严格为正，即便如此，经验深度仍几乎必然为零。
• 对于i.i.d.函数型数据，经验单纯形深度 $ D_{ heta,n}(a) $ 无法收敛到真实深度 $ D_ heta(a, u) $，且满足 $ |D_{ heta,n}(a) - D_ heta(a, u)| = \nu(a) $ 几乎必然。
• 事件 $ Z_{n,k}(a) = 0 $ 的概率下界为 $ P(\theta_k(a) > \text{all } \theta_k(X_j)) + P(\theta_k(a) < \text{all } \theta_k(X_j)) $，该值虽呈指数衰减但始终为正。
• Borel-Cantelli引理表明，$ Z_{n,k}(a) = 0 $ 在 $ k $ 上无限次发生，因此 $ \text{inf}_k Z_{n,k}(a) = 0 $ 几乎必然，导致经验深度为零。
• 即使真实深度 $ \nu(a) > 0 $，经验深度估计量也无法近似真实值，表明其存在根本性的一致性缺失。
• 问题的根本原因在于数据中各分量的独立性，提示需通过平滑处理或对深度度量或数据本身进行修改，方能实现一致性。