[论文解读] Concurrence of Lorentz-positive maps

Roland Hildebrand|ArXiv.org|Dec 8, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过利用洛伦兹正映射和广义特征值线性束，为正算子及双粒子密度矩阵的可缩性与 I-保真度提供了显式公式。研究证明，对于输入空间为 𝒟(2) 的算子，可缩性与 I-保真度分别简化为洛伦兹锥上的凸包和凹包，分别通过矩阵束的第二大和最小广义特征值得出闭式表达式。

ABSTRACT

Let L_n be the n-dimensional Lorentz cone. A linear map M from R^m to R^n is called Lorentz-positive if M[L_m] is contained in L_n. We extend the notion of concurrence, which was initially introduced to quantify the entanglement of bipartite density matrices, to Lorentz-positive maps and provide an explicite formula for it. This allows us to obtain formulae for the concurrence of arbitrary positive operators taking 2 x 2 complex hermitian matrices as input and consequently of arbitrary bipartite density matrices of rank 2. Namely, let P: H(2) o H(d) be a positive operator, and let λ_1,...,λ_4 be the generalized eigenvalues of the pencil σ_2(P(X)) - λdet X, in decreasing order, where σ_2 is the second symmetric function of the spectrum. Then the concurrence is given by the expression C(P;X) = 2\sqrt{σ_2(P(X)) - λ_2 det X}. As an application, we compute the concurrences of the density matrices of all graphs with 2 edges. Similar results apply for a function which we call I-fidelity, with the second largest generalized eigenvalue λ_2 replaced by the smallest eigenvalue λ_4.

研究动机与目标

• 将可缩性的概念从量子态推广至赫米特矩阵上的正算子。
• 定义并计算平方根的第二对称函数在洛伦兹锥上的凸包与凹包。
• 为输入空间 ℋ(2) 的正映射（特别是秩-2 双粒子密度矩阵）推导可缩性与 I-保真度的显式表达式。
• 建立正算子可缩性与部分迹映射之间的联系，从而实现双粒子系统的计算。
• 提供一种系统化方法，用于计算实现可缩性与 I-保真度的最优纯态分解。

提出的方法

• 本文将洛伦兹正映射定义为保持洛伦兹锥的实向量空间之间的线性映射，从而可利用符号为 (+---...) 的二次型。
• 引入线性束 σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X 的广义特征值问题，其中 λ₁ ≥ λ₂ ≥ λ₃ ≥ λ₄ 为广义特征值。
• 可缩性计算为 C(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X]，其中 λ₂ 为第二大广义特征值。
• I-保真度以类似方式定义，使用最小广义特征值 λ₄，得到 F(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X]。
• 该方法依赖于：当 ℋ(2) 时，正算子 Φ 诱导出一个洛伦兹正映射，从而可将问题约化为洛伦兹锥结构。
• 实现可缩性或 I-保真度的最优分解，由对应于 λ₂（可缩性）或 λ₄（I-保真度）的特征向量导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用矩阵束的广义特征值，显式计算正算子 Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂) 的可缩性？
• RQ2 洛伦兹锥在将可缩性概念从量子态推广至正映射方面起到何种作用？
• RQ3 I-保真度（定义为同一函数的凹包）是否可采用与可缩性类似的公式进行计算？
• RQ4 对于哪些类别的正算子，平方根的第二对称函数的凸包可获得闭式表达？
• RQ5 实现秩-2 密度矩阵可缩性或 I-保真度的最优纯态分解具有何种结构？

主要发现

• 正算子 Φ:ℋ(2)→ℋ(d₂) 的可缩性为 C(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₂ det X]，其中 λ₂ 为线性束 σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ det X 的第二大广义特征值。
• 同一算子的 I-保真度为 F(Φ;X) = 2√[σ₂^{d₂}(Φ(X)) - λ₄ det X]，其中 λ₄ 为最小广义特征值。
• 对于秩为 2 的双粒子密度矩阵，通过将 Φ 识别为部分迹映射，可使用相同的公式计算可缩性与 I-保真度。
• 实现可缩性或 I-保真度的最优分解仅涉及两个纯态，其分解向量由对应于 λ₂ 或 λ₄ 的矩阵束特征向量导出。
• 本文为所有 20 个含两条边的图提供了显式可缩性值，表明同构图因具有相同的谱与值域，故产生相同的可缩性与 I-保真度。
• 通过广义特征值线性束将问题约化至洛伦兹锥结构，结果可推广至所有输入空间为 ℋ(2) 的正算子，包括任意秩的算子。