[论文解读] Conditional Dichotomy of Boolean Ordered Promise CSPs

Joshua Brakensiek, Venkatesan Guruswami+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2021

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 11

一句话总结

该论文在 Rich 2-to-1 猜想下为布尔有序承诺约束满足问题（Boolean Ordered Promise CSPs）建立了条件性二分法：当且仅当存在在所有坐标上具有任意小 Shapley 值的多态性时，问题可在多项式时间内求解；否则，问题在 NP-难。该结果基于证明：小 Shapley 值意味着存在一个大的阈值函数子式，且 Shapley 值在随机 2-to-1 子式下行为一致。

ABSTRACT

Promise Constraint Satisfaction Problems (PCSPs) are a generalization of Constraint Satisfaction Problems (CSPs) where each predicate has a strong and a weak form and given a CSP instance, the objective is to distinguish if the strong form can be satisfied vs. even the weak form cannot be satisfied. Since their formal introduction by Austrin, Guruswami, and Håstad, there has been a flurry of works on PCSPs [BBKO19,KO19,WZ20]. The key tool in studying PCSPs is the algebraic framework developed in the context of CSPs where the closure properties of the satisfying solutions known as the polymorphisms are analyzed. The polymorphisms of PCSPs are much richer than CSPs. In the Boolean case, we still do not know if dichotomy for PCSPs exists analogous to Schaefer's dichotomy result for CSPs. In this paper, we study a special case of Boolean PCSPs, namely Boolean Ordered PCSPs where the Boolean PCSPs have the predicate $x \leq y$. In the algebraic framework, this is the special case of Boolean PCSPs when the polymorphisms are monotone functions. We prove that Boolean Ordered PCSPs exhibit a computational dichotomy assuming the Rich 2-to-1 Conjecture [BKM21] which is a perfect completeness surrogate of the Unique Games Conjecture. Assuming the Rich 2-to-1 Conjecture, we prove that a Boolean Ordered PCSP can be solved in polynomial time if for every $ε>0$, it has polymorphisms where each coordinate has Shapley value at most $ε$, else it is NP-hard. The algorithmic part of our dichotomy is based on a structural lemma that Boolean monotone functions with each coordinate having low Shapley value have arbitrarily large threshold functions as minors. The hardness part proceeds by showing that the Shapley value is consistent under a uniformly random 2-to-1 minor. Of independent interest, we show that the Shapley value can be inconsistent under an adversarial 2-to-1 minor.

研究动机与目标

• 建立布尔有序 PCSP 的计算二分法，这是包含顺序谓词 $x \leq y$ 的承诺 CSP 的特例。
• 确定此类问题的精确可解性条件，将 Schaefer 的二分法扩展至承诺设置。
• 通过多态性的 Shapley 值表征多项式时间可解性，特别关注所有坐标均具有任意小 Shapley 值的情形。
• 证明：若不存在此类多态性，则在 Rich 2-to-1 猜想下问题为 NP-难。
• 提供关于 Shapley 值在子式下行为的结构洞见，包括对任意 2-to-1 子式的反例。

提出的方法

• 将布尔有序 PCSP 的多态性分析为单调布尔函数，利用 CSP 的代数框架。
• 证明：若单调函数的所有 Shapley 值为 $o(1)$，则其必有大的阈值函数作为子式，从而支持高效算法。
• 将 Rich 2-to-1 猜想作为难解性假设，当不存在所有坐标 Shapley 值均匀极小的多态性时，推导出条件性 NP-难。
• 证明 Shapley 值在均匀随机 2-to-1 子式下行为一致，支持难解性方向的论证。
• 构造反例以表明 Shapley 值在任意 2-to-1 子式下可能行为不一致，凸显分析中均匀随机性的必要性。
• 在随机限制和边界集上应用概率与组合论证，利用集中不等式来界定 Shapley 值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，布尔有序 PCSP 可在多项式时间内求解？
• RQ2 多态性的 Shapley 值能否作为布尔有序 PCSP 的完整可解性判据？
• RQ3 Shapley 值在 2-to-1 子式下如何表现，这对难解性约化有何含义？
• RQ4 小 Shapley 值与单调布尔函数中阈值函数子式的存在性之间是否存在结构关联？
• RQ5 Rich 2-to-1 猜想能否用于为该类 PCSP 建立条件性二分法？

主要发现

• 当对任意 $\epsilon > 0$，存在一个所有坐标 Shapley 值均不超过 $\epsilon$ 的多态性时，布尔有序 PCSP 可在多项式时间内求解。
• 若不存在此类多态性，则在 Rich 2-to-1 猜想下问题为 NP-难。
• 任何所有 Shapley 值为 $o(1)$ 的单调布尔函数，必有大的阈值函数作为子式，从而支持高效求解。
• 构造函数 $f'$ 中坐标 1 的 Shapley 值为 $o(1)$，而坐标 2 的 Shapley 值为 $\Omega(1)$，表明其敏感性具有非对称性。
• Shapley 值在均匀随机 2-to-1 子式下行为一致，但在任意子式下可能不一致，反例已构造验证。
• 所有坐标的 Shapley 值之和为 1，由于对称性，$f'$ 中坐标 $i \geq 3$ 的 Shapley 值为 $o(1)$，确认了坐标 1 和 2 的主导作用。