[论文解读] Conditional Indexing Lower Bounds Through Self-Reducibility

Massimo Equi, Veli Mäkinen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

semigroups and automata theory被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用技术，基于正交向量假设（OVH）推导索引版本问题的条件性下界。证明了正交向量问题及其可约化为该问题的问题无法在多项式时间内进行索引以支持亚二次查询时间，从而为图上的索引精确字符串匹配建立了首个紧致的条件性下界，并意味着某些无环NFA不存在多项式时间确定化。

ABSTRACT

We provide a general technique to turn a conditional lower bound result based on the Orthogonal Vectors Hypothesis (OVH) into one for the indexed version of the same problem. This consists of two results that hold under OVH: (i) the Orthogonal Vectors (OV) problem cannot be indexed in polynomial time to support sub-quadratic time queries, and (ii) any problem to which OV reduces with a natural property also cannot be indexed in polynomial time to support fast queries. We demonstrate the power of this technique on the problem of exact string matching on graphs, deriving the first, and tight, conditional lower bound for its indexed version. The result has an interesting corollary for automata theory: Unless OVH is false, there is no polynomial determinisation algorithm of a finite automaton, even for an acyclic non-deterministic automata whose only non-deterministic transitions are from the start state. For another example of the use of the technique, we apply it to the reduction by Backurs and Indyk (STOC 2015) on edit distance. This results into the first tight conditional indexing lower bound for approximate string matching. This strengthens the recent tailored reduction by Cohen-Addad, Feuilloley and Starikovskaya (SODA 2019), but with a slightly different boundary condition.

研究动机与目标

• 在正交向量假设（OVH）下，为正交向量（OV）问题的索引版本建立条件性下界。
• 将这些下界扩展至具有自然约化性质的可约化为OV的问题。
• 将该技术应用于推导图上索引精确字符串匹配的首个紧致条件性下界。
• 展示其在自动机理论中的影响，特别是对于仅具有起始状态非确定性的无环NFA是否存在多项式时间确定化算法。
• 通过广义约化，推导出编辑距离索引的首个紧致条件性索引下界，从而强化了先前关于近似字符串匹配的结果。

提出的方法

• 利用自归约性，将标准问题的条件性下界转化为索引问题变体的下界。
• 应用OVH，证明对于OV问题，不存在多项式时间索引结构能支持亚二次查询时间。
• 利用自然约化性质，将下界扩展至任何在该条件下可约化为OV的问题。
• 将该框架应用于图上的精确字符串匹配，推导出紧致的索引下界。
• 将结果推广至自动机理论，证明对于仅在起始状态存在非确定性转移的无环NFA，不存在多项式时间确定化。
• 通过Backurs-Indyk约化，将该技术扩展至近似字符串匹配，为编辑距离索引获得紧致下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在OVH下，标准正交向量问题的条件性下界能否被转移到其索引变体？
• RQ2 此类索引下界对图上精确字符串匹配有何影响？
• RQ3 在OVH假设下，是否存在针对仅在起始状态具有非确定性的无环非确定性有限自动机的多项式时间确定化算法？
• RQ4 该技术能否用于通过编辑距离推导近似字符串匹配的紧致下界？
• RQ5 与先前针对编辑距离索引的定制化约化相比，该框架有何异同？

主要发现

• 在OVH下，正交向量问题的索引版本无法在多项式预处理时间与亚二次查询时间下求解。
• 任何通过自然约化可约化为OV的问题也继承这一索引下界。
• 首次为图上的索引精确字符串匹配建立了紧致条件性下界。
• 除非OVH为假，否则不存在针对仅在起始状态具有非确定性转移的无环NFA的多项式时间确定化算法。
• 该技术首次为通过编辑距离索引近似字符串匹配建立了紧致条件性下界，优于先前的定制化约化。
• 该框架推广并强化了Cohen-Addad、Feuilloley与Starikovskaya的先前结果，仅在边界条件上略有不同。