[论文解读] Conditional Lower Bound for Subgraph Isomorphism with a Tree Pattern

Robert Krauthgamer, Ohad Trabelsi|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了 kTree 問題的條件下界——判斷圖是否包含一個 k 個節點的樹作為子圖——表明任何以 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 時間解決此問題的演算法，將會否證 Set Cover 猜測。此外，本文還提出了一個新的 p-Partial Cover 演算法，其時間複雜度為 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$，在相同猜測下近乎最優。

ABSTRACT

The kTree problem is a special case of Subgraph Isomorphism where the pattern graph is a tree, that is, the input is an $n$-node graph $G$ and a $k$-node tree $T$, and the goal is to determine whether $G$ has a subgraph isomorphic to $T$. We provide evidence that this problem cannot be computed significantly faster than $2^{k} extsf{poly}(n)$, which matches the fastest algorithm known for this problem by Koutis and Williams [ICALP 2009 and TALG 2016]. Specifically, we show that if kTree can be solved in time $(2-\varepsilon)^k extsf{poly}(n)$ for some constant $\varepsilon>0$, then Set Cover with $n'$ elements and $m'$ sets can be solved in time $(2-δ)^{n'} extsf{poly}(m')$ for a constant $δ(\varepsilon) > 0$, which would refute the Set Cover Conjecture by Cygan et al. [CCC 2012 and TALG 2016]. Our techniques yield a new algorithm for the p-Partial Cover problem, a parameterized version of Set Cover that requires covering at least $p$ elements (rather than all elements). Its running time is $(2+\varepsilon)^p (m')^{O(1/\varepsilon)}$ for any fixed $\varepsilon>0$, which improves the previous $2.597^p extsf{poly}(m')$-time algorithm by Zehavi [ESA 2015]. Our running time is nearly optimal, as a $(2-\varepsilon')^p extsf{poly}(m')$-time algorithm would refute the Set Cover Conjecture.

研究动机与目标

• 基於 Set Cover 猜測，為 kTree 問題建立條件下界。
• 證明若能將 kTree 的 $O^*(2^k)$ 演算法顯著改進為 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 時間，將會否證 Set Cover 猜測。
• 為 p-Partial Cover 問題設計一個新的演算法，並改善其執行時間。
• 證明在 Set Cover 猜測下，新 p-Partial Cover 演算法近乎最優。

提出的方法

• 透過精心構建的主圖 $G_g$ 和樹 $T_g^\alpha$，將 Set Cover 問題歸約為 kTree 的一個實例。
• 利用對節點度數與連通性的結構約束，確保有效的同構映射對應至有效的 Set Cover 解。
• 應用 Koutis 和 Williams [KW16] 提出的 kTree 演算法，於 $O^*(2^k)$ 時間內解決歸約後的實例。
• 透過僅考慮對應於 $p$ 個元素的分割枚舉，將此歸約方法適用于 p-Partial Cover 問題。
• 使用有向樹與修改後的構造方式，簡化歸約過程並改善時間複雜度界限。
• 設定參數 $g = 4/\varepsilon'$，以平衡樹的大小與分割數量之間的權衡，達成所需的時間複雜度。

实验结果

研究问题

• RQ1 kTree 的 $O^*(2^k)$ 演算法能否顯著改進為 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 時間（對某個 $\varepsilon > 0$）？
• RQ2 此改進對 Set Cover 問題有何後果？
• RQ3 在 Set Cover 猜測下，p-Partial Cover 的 $O^*(2.597^p)$ 演算法是否最優？
• RQ4 能否設計出優於現有最佳水準的 p-Partial Cover 新演算法？
• RQ5 新演算法的時間複雜度 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ 是否近乎最優？

主要发现

• 若 kTree 可在時間 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 內解決（對某個 $\varepsilon > 0$），則 Set Cover 問題在 $n$ 個元素與 $m$ 個集合下，可於時間 $(2 - \delta)^n \cdot \text{poly}(m)$ 內解決（對某個 $\delta > 0$），從而否證 Set Cover 猜測。
• 新 p-Partial Cover 演算法對任意固定的 $\varepsilon > 0$，其執行時間為 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$，優於先前的 $O^*(2.597^p)$ 界限。
• 新 p-Partial Cover 演算法的執行時間近乎最優，因為若存在 $(2 - \varepsilon')^p \cdot \text{poly}(m)$ 時間的演算法，將會否證 Set Cover 猜測。
• 在標準的節點度數與圖結構假設下，Set Cover 到 kTree 的歸約是有效的，確保了條件下界的正確性。
• 主圖 $G_g$ 與樹 $T_g^\alpha$ 的構造確保了有效的同構映射恰好對應至有效的 Set Cover 解。
• 參數 $g = 4/\varepsilon'$ 的選擇，平衡了分割數量與樹的大小之間的權衡，達成所需的時間複雜度。