[论文解读] Conditional Value-at-Risk: Theory and Applications

Jakob Kisiala|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 12被引用 6

一句话总结

本论文将条件风险价值（CVaR）同时作为金融风险度量和一种新型向量范数，提出了新的理论证明与应用。研究表明，CVaR在投资组合优化和模型恢复中具有实用性，其在恢复二值和信号方面优于 $L_\infty$，但在稀疏信号恢复中表现不及 $L_1$，主要贡献包括范数等价性的替代证明以及一种新的分段凸性性质。

ABSTRACT

This thesis presents the Conditional Value-at-Risk concept and combines an analysis that covers its application as a risk measure and as a vector norm. For both areas of application the theory is revised in detail and examples are given to show how to apply the concept in practice. In the first part, CVaR as a risk measure is introduced and the analysis covers the mathematical definition of CVaR and different methods to calculate it. Then, CVaR optimization is analysed in the context of portfolio selection and how to apply CVaR optimization for hedging a portfolio consisting of options. The original contributions in this part are an alternative proof of Acerbi's Integral Formula in the continuous case and an explicit programme formulation for portfolio hedging. The second part first analyses the Scaled and Non-Scaled CVaR norm as new family of norms in $\mathbb{R}^n$ and compares this new norm family to the more widely known $L_p$ norms. Then, model (or signal) recovery problems are discussed and it is described how appropriate norms can be used to recover a signal with less observations than the dimension of the signal. The last chapter of this dissertation then shows how the Non-Scaled CVaR norm can be used in this model recovery context. The original contributions in this part are an alternative proof of the equivalence of two different characterizations of the Scaled CVaR norm, a new proposition that the Scaled CVaR norm is piecewise convex, and the entire \autoref{chapter:Recovery_using_CVaR}. Since the CVaR norm is a rather novel concept, its applications in a model recovery context have not been researched yet. Therefore, the final chapter of this thesis might lay the basis for further research in this area.

研究动机与目标

• 建立CVaR作为金融投资组合优化中一致风险度量的理论基础。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 中提出并分析缩放与非缩放CVaR范数作为新型向量范数家族。
• 研究在观测数少于信号维度时，非缩放CVaR范数在模型恢复问题中的应用。
• 将CVaR范数与 $L_p$ 范数的行为进行比较，并评估其计算效率。
• 为未来基于原子范数的CVaR模型恢复研究提供理论基础。

提出的方法

• 通过积分公式推导CVaR作为VaR阈值之外的期望损失，并在连续情况下给出新的证明。
• 将CVaR优化应用于投资组合选择与对冲，通过线性规划形式化最小化期权投资组合的CVaR。
• 定义缩放与非缩放CVaR范数，并通过替代推导证明其等价性，确立缩放CVaR范数的分段凸性。
• 利用凸几何工具（包括切锥与高斯宽度）分析原子范数下的模型恢复条件。
• 通过数值实验评估CVaR范数在不同信号类型下相对于 $L_1$ 与 $L_\infty$ 范数的恢复性能。
• 采用蒙特卡洛模拟与单位球可视化方法，比较不同 $\alpha$ 与 $p$ 值下 $C_\alpha$ 与 $L_p$ 范数的几何特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过连续情况下的替代积分公式严格重证CVaR？
• RQ2 当观测数少于信号维度时，CVaR范数能否有效用于模型恢复？
• RQ3 CVaR范数在恢复 $k$-稀疏与二值和信号时，其性能与 $L_1$ 和 $L_\infty$ 范数相比如何？
• RQ4 CVaR范数中的置信水平 $\alpha$ 与 $L_p$ 空间中的 $p$-范数之间存在何种关系？
• RQ5 CVaR范数的几何与计算特性与 $L_p$ 范数相比如何？

主要发现

• 提供了Acerbi积分公式用于CVaR的替代证明，强化了其在连续情况下的理论基础。
• 开发了一种新的线性规划形式化方法，用于在对冲中最小化CVaR，支持期权交易中的实际应用。
• 证明了缩放CVaR范数具有分段凸性，这是一种新颖的性质，增强了其理论吸引力。
• 数值实验表明，CVaR范数在恢复 $k$ 个二值向量之和的信号时，性能略优于 $L_\infty$。
• 在恢复 $k$-稀疏向量时，CVaR范数表现不及 $L_1$，表明其在标准稀疏恢复任务中适用性有限。
• $\alpha$ 的选择显著影响CVaR范数的单位球几何形状，提示最优性能可能依赖于 $\alpha$ 的精心选择。