[论文解读] Conditionally Optimal Approximation Algorithms for the Girth of a Directed Graph

Mina Dalirrooyfard, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用 1

一句话总结

本论文提出了有向图围长的条件最优近似算法，在 Õ(mn³⁴) 时间内实现 2-近似，在加权图中以 Õ(m√n) 时间实现 (2+ε)-近似，均采用组合方法。在 k-Cycle 假设下，证明了任何 (2−ε)-近似算法无法在 o(mn) 时间内运行，从而确立了亚二次时间算法近似因子的紧致性。

ABSTRACT

It is known that a better than $2$-approximation algorithm for the girth in dense directed unweighted graphs needs $n^{3-o(1)}$ time unless one uses fast matrix multiplication. Meanwhile, the best known approximation factor for a combinatorial algorithm running in $O(mn^{1-ε})$ time (by Chechik et al.) is $3$. Is the true answer $2$ or $3$? The main result of this paper is a (conditionally) tight approximation algorithm for directed graphs. First, we show that under a popular hardness assumption, any algorithm, even one that exploits fast matrix multiplication, would need to take at least $mn^{1-o(1)}$ time for some sparsity $m$ if it achieves a $(2-ε)$-approximation for any $ε>0$. Second we give a $2$-approximation algorithm for the girth of unweighted graphs running in $ ilde{O}(mn^{3/4})$ time, and a $(2+ε)$-approximation algorithm (for any $ε>0$) that works in weighted graphs and runs in $ ilde{O}(m\sqrt n)$ time. Our algorithms are combinatorial. We also obtain a $(4+ε)$-approximation of the girth running in $ ilde{O}(mn^{\sqrt{2}-1})$ time, improving upon the previous best $ ilde{O}(m\sqrt n)$ running time by Chechik et al. Finally, we consider the computation of roundtrip spanners. We obtain a $(5+ε)$-approximate roundtrip spanner on $ ilde{O}(n^{1.5}/ε^2)$ edges in $ ilde{O}(m\sqrt n/ε^2)$ time. This improves upon the previous approximation factor $(8+ε)$ of Chechik et al. for the same running time.

研究动机与目标

• 填补有向图围长亚二次时间近似中最佳已知近似因子与条件下界之间的差距。
• 开发组合算法，实现优于先前方法的近似比，同时保持亚二次时间复杂度。
• 在 k-Cycle 假设下建立条件下界，表明 (2−ε)-近似围长需要 Ω(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾) 时间。
• 改进有向图中往返 spanner 构造的近似因子与运行时间。

提出的方法

• 利用 k-Cycle 假设推导 (2−ε)-近似围长的条件下界，表明此类算法需要 Ω(mn¹⁻ᵒ⁽¹⁾) 时间。
• 引入缩放技术：通过将边权除以 R = Wε/n 对权重进行离散化，以缩小权重范围，从而在变换图 H 上实现高效近似。
• 在缩放图 H 上应用基础近似算法 A，获得 (2k + O(ε))-近似结果，然后通过权重重构将结果回传至原始图 G。
• 通过在边权上进行二分查找，计算最小的 W，使得存在所有边权 ≤ W 的环，从而从下界约束围长。
• 使用随机顶点着色与环收缩技术，将 k-环检测问题约化为围长近似问题，实现下界约化。
• 采用标准技术对 k-环检测过程进行去随机化，确保在多项式对数时间开销内保持确定性正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合理的复杂度假设下，有向图围长的 (2−ε)-近似算法能否在 o(mn) 时间内运行？
• RQ2 在 Õ(mn¹⁻ε) 时间内实现 3-近似因子是否最优，还是可改进为 2？
• RQ3 组合算法能否在加权有向图中实现 (2+ε)-近似围长的亚二次时间复杂度？
• RQ4 能否构造出近似因子更优且运行时间与先前工作相当的往返 spanner？
• RQ5 在细粒度复杂度假设下，有向图围长在 Õ(mn¹⁻ε) 时间内可达到的最紧近似因子是多少？

主要发现

• 在 k-Cycle 假设下，有向图围长的任何 (2−ε)-近似算法都无法在 o(mn) 时间内运行，从而确立了条件下的时间下界。
• 无权有向图的 2-近似算法运行时间为 Õ(mn³⁴)，优于此前在 Õ(m√n) 时间内实现的 3-近似算法。
• 加权有向图的 (2+ε)-近似算法运行时间为 Õ(m√n)，与先前工作运行时间相同，但近似因子更优。
• 围长的 (4+ε)-近似算法运行时间为 Õ(mn√²⁻¹)，相比 Chechik 等人此前的 Õ(m√n) 时间复杂度有所改进。
• 可构造出 (5+ε)-近似往返 spanner，边数为 Õ(n¹·⁵/ε²)，运行时间为 Õ(m√n/ε²)，相比先前工作从 (8+ε) 改进至 (5+ε) 的近似因子。
• 本文证明，2-近似因子对于亚二次时间算法是条件最优的，因为任何改进都将意味着 k-环检测问题的突破。