[论文解读] Conditioned local limit theorems for random walks on the real line

Ion Grama, Hui Xiao|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文建立了实直线上随机游走的条件局部极限定理，推导了当游走起始于边界附近或远处时，首次通过时间分布和条件期望的精确渐近展开式。研究提供了显式的误差界，并为首次通过时间概率 $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 提供了新的渐近展开，将先前结果推广至中等偏差情形及具有 $2+\delta$ 阶矩的非格点增量。

ABSTRACT

Consider a random walk $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ with independent and identically distributed real-valued increments $X_i$ of zero mean and finite variance. Assume that $X_i$ is non-lattice and has a moment of order $2+δ$. For any $x\geq 0$, let $τ_x = \inf \left\{ k\geq 1: x+S_{k} < 0 ight\}$ be the first time when the random walk $x+S_n$ leaves the half-line $[0,\infty)$. We study the asymptotic behavior of the probability $\bb P (τ_x >n)$ and that of the expectation $\mathbb{E} \left( f(x + S_n ), τ_x > n ight)$ for a large class of target function $f$ and various values of $x$, $y$ possibly depending on $n$. This general setting implies limit theorems for the joint distribution $\mathbb{P} \left( x + S_n \in y+ [0, Δ], τ_x > n ight)$ where $Δ>0$ may also depend on $n$. In particular, the case of moderate deviations $y=σ\sqrt{q n\log n}$ is considered. We also deduce some new asymptotics for random walks with drift and give explicit constants in the asymptotic of the probability $\bb P (τ_x =n)$. For the proofs we establish new conditioned integral limit theorems with precise error terms.

研究动机与目标

• 分析 $\mathbb{P}(\tau_x > n)$ 和 $\mathbb{E}[f(x+S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ 的渐近行为，其中 $f$ 为一般函数，$x$ 可变。
• 推导联合分布 $\mathbb{P}(x+S_n \in y+[0,\Delta], \tau_x > n)$ 的局部极限定理，其中 $\Delta$ 可能依赖于 $n$，尤其关注中等偏差情形 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$。
• 为 $\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 建立精确渐近展开式并给出显式常数，扩展经典扩散近似之外的结果。
• 基于调和函数与对偶恒等式，发展新的条件积分极限定理，并给出精确收敛速率。
• 在近边界与远边界情形下，为退出时间分布提供非渐近界与一致估计。

提出的方法

• 使用与吸收随机游走 $x + S_n$ 相关的调和函数 $V(x) = -\mathbb{E}[S_{\tau_x}]$，其满足调和方程 $\mathbb{E}[V(x+S_1) \mathbf{1}_{\{x+S_1 \geq 0\}}] = V(x)$。
• 应用对偶恒等式与更新理论，将退出时间分布与更新函数 $U(x)$ 关联，其中 $U(x) = V(x)/V(0)$。
• 采用基于 $x + S_n$ 给定 $\tau_x > n$ 的密度的非渐近条件局部极限定理，误差项以 $V(x)$ 和 $n$ 显式表示。
• 通过涉及标准正态密度与指数项的积分表示，推导精确余项估计，利用对 $1 - e^{-u}$ 和 $e^u$ 的界。
• 应用引理 3.7 控制不同情形下 $x$ 与 $V(x)$ 的偏离，确保在 $x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ 上的一致估计。
• 将这些估计与条件积分极限定理（定理 2.7 和 2.8）结合，推导出具有显式误差界的最终渐近展开式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $x$ 与 $y$ 随 $n$ 增长时，$\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ 的精确渐近行为如何，尤其在中等偏差情形 $y = \sigma\sqrt{qn\log n}$？
• RQ2 对于一般测试函数 $f$，条件矩 $\mathbb{E}[f(x + S_n) \mathbf{1}_{\{\tau_x > n\}}]$ 的渐近行为如何？
• RQ3 对于具有非格点增量和有限 $(2+\delta)$ 阶矩的随机游走，$\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 的渐近展开式中显式常数与误差项为何？
• RQ4 能否为给定 $\tau_x > n$ 的 $x + S_n$ 的条件分布建立非渐近局部极限定理，并保证一致误差界？
• RQ5 当起始点 $x$ 较大但相对于 $\sqrt{n}$ 增长不快时，条件退出时间概率的行为如何？

主要发现

• 对于 $x \in [n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$，概率 $\mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n)$ 具有涉及 $V(x)$、$\sigma$ 与标准正态累积分布函数 $\Phi^+(t)$ 的渐近展开式，误差为 $O(n^{-1/2})$。
• 当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{P}(\tau_x = n)$ 的渐近表达式为 $\frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \left(1 + o(1)\right)$，在 $[n^{1/2 - \varepsilon}, \alpha_n \sqrt{n}]$ 范围内关于 $x$ 一致成立。
• 对于 $x \in [n^\beta, n^{1/2 - \varepsilon}]$ 且 $\beta < 1/2 - \varepsilon$，渐近展开的误差界为 $O(n^{-\varepsilon \beta})$，收敛速率得到改善。
• 条件局部极限定理在 $x$ 上一致成立，且具有显式误差界：$\left| \mathbb{P}(x + S_n \in y + [0,\Delta], \tau_x > n) - \frac{2V(x)}{\sigma \sqrt{2\pi n}} \Phi^+(t) \right| \leq c \frac{x^2}{n}$。
• 本文建立了具有精确余项的非渐近局部极限定理，利用积分表示与对 $1 - e^{-u}$ 和 $e^u$ 的界。
• 通过调和函数 $V(x)$ 将结果推广至带漂移的随机游走，为存在漂移时的退出时间概率提供了新的渐近性质。