[论文解读] Conditions for a real polynomial to be sum of squares

Jean B. Lasserre|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提供了关于实系数多项式为平方和（s.o.s.）的显式、仅系数条件，仅使用其系数而无需升维或引入辅助变量。核心贡献是构造了一个度数不超过 2d 的 s.o.s. 多项式凸多面体子锥，其完全由系数上的简单代数不等式刻画，从而可直接验证 s.o.s. 成员资格。

ABSTRACT

Abstract. We provide explicit conditions for a polynomial f of degree 2d to be a sum of squares (s.o.s.), stated only in terms of the coefficients of f, i.e. with no lifting. All conditions are simple and provide an explicit description of a convex polyhedral subcone of the cone of s.o.s. polynomials of degree at most 2d. We also provide a simple condition to ensure that f is s.o.s., possibly modulo a constant. 1.

研究动机与目标

• 推导出关于实系数多项式为平方和的显式、仅系数条件，其次数为 2d。
• 仅使用多项式的系数，描述度数不超过 2d 的 s.o.s. 多项式锥的一个凸多面体子锥。
• 提供一个简单判别准则，仅基于多项式的系数，判断其是否为 s.o.s.，可能模一个常数。
• 通过将 s.o.s. 条件完全表达为系数的代数关系，消除对升维或半定规划的需求。

提出的方法

• 该方法在多项式系数上构造一组线性不等式，其来源于平方和表示的结构。
• 利用多项式为平方和当且仅当其关联的汉克尔矩阵为半正定的性质，并将该条件转化为系数上的不等式。
• 通过直接表达系数上的正定性条件，避免升维，确保所得集合为一个凸多面体锥。
• 该方法依赖于将多项式表示为单项式上的二次型，并推导出该形式为半正定时，系数向量所需满足的必要与充分条件。
• 通过隐含编码在系数结构中的高阶矩约束，构建一系列逐渐收紧的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些显式、基于系数的条件可判断一个次数为 2d 的实系数多项式是否为平方和？
• RQ2 能否仅使用多项式的系数，将度数不超过 2d 的 s.o.s. 多项式集合描述为一个凸多面体锥？
• RQ3 是否可能仅通过系数上的代数约束，无需升维或半定规划，验证 s.o.s. 成员资格？
• RQ4 何种简单条件可确保一个多项式模一个常数后为 s.o.s.，且仅基于其系数？

主要发现

• 本文建立了一个度数不超过 2d 的 s.o.s. 多项式锥的凸多面体子锥，其完全由系数上的线性不等式刻画。
• 所有 s.o.s. 成员资格的条件均显式地以多项式系数表示，无需升维或半定规划。
• 该方法提供了一个既简单又仅从系数向量即可计算验证的 s.o.s. 充分条件。
• 该刻画包含一个判别准则，可仅基于系数约束判断一个多项式是否模一个常数后为 s.o.s.。