[论文解读] Conditions for zero duality gap in convex programming

Jonathan M. Borwein, Regina S. Burachik+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 29被引用 8

一句话总结

本文提出了一种刻画凸规划中零对偶间隙的新双重条件，证明其比现有的约束资格条件（包括Bertsekas的条件和闭上图条件）更不具限制性。其主要贡献是基于$\varepsilon$-次微分之和的弱*闭性提出的一个充分条件，该条件可确保精确对偶性，并简化凸函数之和的次微分微积分。

ABSTRACT

We introduce and study a new dual condition which characterizes zero duality gap in nonsmooth convex optimization. We prove that our condition is weaker than all existing constraint qualifications, including the closed epigraph condition. Our dual condition was inspired by, and is weaker than, the so-called Bertsekas' condition for monotropic programming problems. We give several corollaries of our result and special cases as applications. We pay special attention to the polyhedral and sublinear cases, and their implications in convex optimization.

研究动机与目标

• 建立一个刻画凸规划中零对偶间隙的新对偶条件。
• 证明该条件比所有已知的约束资格条件（包括Bertsekas的条件和闭上图条件）更不具限制性。
• 利用新的闭性条件简化凸函数之和的次微分表达式。
• 推广并统一凸优化中对偶间隙与次微分微积分的现有结果。

提出的方法

• 基于所涉及函数的$\varepsilon$-次微分之和的弱*闭性，提出一个新的对偶条件。
• 利用Fenchel对偶性和下确界卷积理论，将该对偶条件与零对偶间隙性质联系起来。
• 应用凸分析中的结果，包括Fenchel共轭和法锥算子，分析对偶问题的结构。
• 建立新条件与现有条件（如Bertsekas的约束资格条件和闭上图条件）之间的联系。
• 利用多面体函数与次线性函数的理论，推导特例与应用。
• 证明在温和连续性假设下，新条件可推出精确下确界卷积与次微分求和法则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于现有条件的假设下，新对偶条件是否仍能保证凸规划中的零对偶间隙？
• RQ2 新条件在强度上与Bertsekas的约束资格条件和闭上图条件相比如何？
• RQ3 新条件能否用于简化凸函数之和的次微分微积分？
• RQ4 闭上图条件是否严格强于新对偶条件？
• RQ5 这些结果如何推广到形如$f + g \circ A$的复合目标函数问题？

主要发现

• 所提出的对偶条件——对所有$\varepsilon > 0$和$x \in S$，有$\sum_{i=1}^{m} \partial_\varepsilon f_i(x)$的弱*闭性——是零对偶间隙的充分条件。
• 该条件在文献中的反例表明，其严格弱于Bertsekas的约束资格条件和闭上图条件。
• 该条件确保精确下确界卷积：在对偶空间中有$(\sum_{i=1}^m f_i)^* = f_1^* \Box \cdots \Box f_m^*$。
• 对于多面体函数与次线性函数，该条件简化为上图的闭性，从而在更强假设下恢复已知结果。
• 在新条件下，次微分求和法则$\partial(f_1 + \cdots + f_m) = \partial f_1 + \cdots + \partial f_m$成立。
• 本文通过证明新条件统一并推广了现有的对偶性与次微分结果，解决了开放问题。