[论文解读] Conditions implying the uniqueness of the weak$^*$-topology on certain group algebras

Matthew Daws, Hung Le Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文確立了在何種條件下，特定群代數——具體而言是測度代數 $M(G)$ 和傅里葉代數 $A(G)$——上的弱$^*$-拓撲由其典型預對偶唯一確定。透過要求共結合乘法為弱$^*$-連續，作者證明 $C_0(G)$ 是 $M(G)$ 的唯一預對偶，而 $C^*(G)$ 是 $A(G)$ 的唯一預對偶，從而確保雙重上同調性質定義明確且與拓撲選擇無關。

ABSTRACT

We investigate possible preduals of the measure algebra $M(G)$ of a locally compact group and the Fourier algebra $A(G)$ of a separable compact group. Both of these algebras are canonically dual spaces and the canonical preduals make the multiplication separately weak$^*$-continuous so that these algebras are dual Banach algebras. In this paper we find additional conditions under which the preduals $C_0(G)$ of $M(G)$ and $C^*(G)$ of $A(G)$ are uniquely determined. In both cases we consider a natural coassociative multiplication and show that the canonical predual gives rise to the unique weak$^*$-topology making both the multiplication separately weak$^*$-continuous and the coassociative multiplication weak$^*$-continuous. In particular, dual cohomological properties of these algebras are well defined with this additional structure.

研究动机与目标

• 透過識別固定典型預對偶的條件，解決雙重巴拿赫代數中弱$^*$-拓撲非唯一性的問題。
• 證明對於局部緊群 $G$，當共結合乘積為弱$^*$-連續時，測度代數 $M(G)$ 的弱$^*$-拓撲由 $C_0(G)$ 唯一確定。
• 將此唯一性結果推廣至可分緊緻群的傅里葉代數 $A(G)$，證明 $C^*(G)$ 是唯一等距預對偶，使霍普夫代數運算為弱$^*$-連續。
• 建立馮諾依曼代數亦具有唯一弱$^*$-拓撲，使乘法分別連續，從而推廣先前對交換情形的結果。
• 確保上同調不變量（如康nes-可 Amenability）定義明確，消除多重弱$^*$-拓撲帶來的模糊性。

提出的方法

• 利用 $M(G)$ 和 $A(G)$ 上的共結合霍普夫代數結構，透過共乘法的弱$^*$-連續性來約束可能的預對偶。
• 將 $M(G)$ 和 $A(G)$ 上的弱$^*$-拓撲與預對偶 $E$ 關聯，其中 $E$ 分別為 $\tilde{M}(G)$ 和 $VN(G)$ 的 $C^*$-子代數。
• 應用蓋爾范德對偶性與譜理論，證明 $E$ 的特徵空間必同胚於 $G$，進而強制在 $M(G)$ 情形下 $E = C_0(G)$。
• 利用蓋爾范德-內馬爾克-塞加爾構造與表示理論，將 $E$ 的譜與單位酉對偶 $\hat{G}$ 連結，確保其離散性並與群結構相容。
• 利用 $\mathcal{B}(E)$ 和 $\mathcal{M}^*$ 的阿倫斯正則性與對偶結構，證明馮諾依曼代數中預對偶的唯一性。
• 反證法：假設存在非典型的預對偶，將與共結合乘積的弱$^*$-連續性或譜的離散性產生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，測度代數 $M(G)$ 上的弱$^*$-拓撲由其典型預對偶 $C_0(G)$ 唯一確定？
• RQ2 對於可分緊緻群，傅里葉代數 $A(G)$ 的典型預對偶 $C^*(G)$ 是否能透過共結合乘法的弱$^*$-連續性唯一特徵化？
• RQ3 弱$^*$-拓撲在 $M(G)$ 上的唯一性是否可推廣至非離散的局部緊群？何種結構約束強制此唯一性？
• RQ4 共結合霍普夫代數結構如何約束雙重巴拿赫代數可能的預對偶？
• RQ5 馮諾依曼代數上的弱$^*$-拓撲是否由乘法的分離弱$^*$-連續性唯一確定，且與預對偶的選擇無關？

主要发现

• 對於任意局部緊群 $G$，若共結合乘積為弱$^*$-連續，則測度代數 $M(G)$ 的弱$^*$-拓撲由 $C_0(G)$ 唯一確定。
• 可分緊緻群 $G$ 的傅里葉代數 $A(G)$ 有唯一等距預對偶 $C^*(G)$，使霍普夫代數運算為弱$^*$-連續。
• $M(G)$ 的典型預對偶 $C_0(G)$ 是 $\ell^\infty(G)$ 中唯一滿足共結合乘積弱$^*$-連續且 $E$ 為 $C^*$-子代數的閉子空間。
• 任何弱$^*$-閉的 $C^*$-子代數 $E \subseteq VN(G)$，若在 $A(G)$ 上誘導弱$^*$-拓撲，則其譜必為離散且同胚於 $\hat{G}$，進而強制 $E = C^*(G)$。
• 馮諾依曼代數具有唯一弱$^*$-拓撲，使乘法分別連續，且此拓撲自動使共軛運算為弱$^*$-連續。
• 若雙重巴拿赫代數為阿倫斯正則、在其二階對偶中為單位元，且為其二階對偶中的理想，則其弱$^*$-拓撲唯一確定。