[论文解读] Conductors and newforms for non-supercuspidal representations of unramified U(2,1)

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 4

一句话总结

该论文确定了非极大紧型（non-supercuspidal）酉群 U(2,1) 在 p-adic 域上（p ≠ 2）的广义表示的导子，并显式构造了其新形式。通过一族开紧致子群 K_n，证明了新形式是 Whittaker 泛函的测试向量，从而确立其在 zeta 积分中的非零性。对于诱导表示，导子被证明为 2c(μ₁) + c(μ₂)，且新形式空间为一维。

ABSTRACT

Let G be the unramified unitary group in three variables defined over a p-adic field with odd p. The conductors and newforms for representations of G are defined by using a certain family of open compact subgroups of G. In this paper, we determine the conductors of non-supercuspidal representations of G, and give explicit newforms in induced representations for non-supercuspidal generic representations.

研究动机与目标

• 确定非极大紧型广义表示在非分歧酉群 U(2,1) 上的 p-adic 域（p ≠ 2）的导子。
• 在非极大紧型广义表示的诱导表示中显式构造新形式。
• 证明新形式作为 Whittaker 泛函的测试向量，确保其在 zeta 积分中非零。
• 将局部新形式理论从 GL(2) 和极大紧型表示推广至 U(2,1) 中的非极大紧型情形。

提出的方法

• 通过寻找最小的 n，使得表示中 K_n-不动点空间非零，来计算导子，其中 K_n 是由矩阵元属于分数理想定义的一族开紧致子群。
• 对于从 Borel 子群诱导的表示，证明导子为 2c(μ₁) + c(μ₂)，其中 c(μ_i) 是特征 μ_i 的导子。
• 使用提升阶算子 θ′ 来识别可约诱导表示中的广义子表示，特别是在诱导表示可约时。
• 显式构造新形式为诱导表示空间中的特定函数，其支集在 BK_n 内，并证明其在单位元处非零。
• 通过证明提升阶算子 θ′ 在新形式空间上是单射，确立测试向量性质，从而推出 Whittaker 周期非零。
• 利用 θ′ 和 η 算子的作用，证明当 n ≥ N_π 时，旧形式空间 V(n) 的维数为 ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p ≠ 2 的 p-adic 域上，非极大紧型广义表示的非分歧酉群 U(2,1) 的导子是什么？
• RQ2 如何显式构造 U(2,1) 的非极大紧型广义表示的新形式？
• RQ3 U(2,1) 的非极大紧型表示的新形式是否是 Whittaker 泛函的测试向量？
• RQ4 当 n > N_π 时，K_n-不动点向量空间（旧形式）的维数是多少？
• RQ5 诱导表示的导子与其诱导特征的导子之间有何关系？

主要发现

• 对于由 B^G(μ₁ ⊗ μ₂) 诱导的表示，其导子为 2c(μ₁) + c(μ₂)，其中 c(μ_i) 是特征 μ_i 的导子。
• 对于 G 的任意不可约广义非极大紧型表示 π，新形式空间 V(N_π) 为一维。
• V(N_π) 中任意非零向量满足 f(1) ≠ 0，确保其在单位元处非零。
• 提升阶算子 θ′ 在 V(N_π) 上是单射，这意味着新形式是 Whittaker 泛函的测试向量。
• 当 n ≥ N_π 时，旧形式空间 V(n) 的维数为 ⌊(n − N_π)/2⌋ + 1。
• 新形式是诱导表示空间中某一特定函数的非零倍数，且对所有非零 v ∈ V(N_π)，其 Whittaker 周期 W_v(1) 非零。