[论文解读] Cone metric spaces and fixed point theorems of T-Kannan contractive mappings

J. R. Morales, Edixon Rojas|ArXiv.org|Jul 22, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用 52

一句话总结

本文在完备锥度量空间中建立了T-Kannan与T-Chatterjea压缩映射的不动点存在性与唯一性的充分条件，推广了Kannan与Rezapour的经典结果。通过引入控制函数T，定义了T-Kannan与T-Chatterjea压缩映射，证明在正规锥与连续性假设下，迭代序列收敛于唯一不动点。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to obtain sufficient conditions for the existence of a unique fixed point of T-Kannan type mappings on complete cone metric spaces depended on another function.

研究动机与目标

• 将Kannan的不动点定理推广至使用T-Kannan压缩映射框架的锥度量空间。
• 在锥度量空间的背景下引入并分析T-Chatterjea压缩映射。
• 建立在完备锥度量空间中迭代序列收敛于唯一不动点的条件。
• 通过引入控制函数T并放松正规性假设，扩展[3]与[4]中的先前结果。
• 通过T-压缩映射统一并推广锥度量空间中的不动点定理。

提出的方法

• 在完备锥度量空间(M,d)上，利用映射T: M → M定义T-Kannan与T-Chatterjea压缩映射。
• 使用压缩条件：d(TSx,TSy) ≤ b[d(Tx,TSx) + d(Ty,TSy)]，其中b ∈ [0, 1/2) 为T-Kannan映射。
• 应用压缩条件：d(TSx,TSy) ≤ c[d(Tx,TSy) + d(Ty,TSx)]，其中c ∈ [0, 1/2) 为T-Chatterjea映射。
• 利用正规锥性质及其正规常数K，界定距离序列的范数。
• 构造迭代序列(xₙ) = Sⁿx₀，并通过h = c/(1−c)的几何衰减分析(TSⁿx₀)的收敛性。
• 证明(TSⁿx₀)是M中的柯西序列，且由于M完备，其收敛于M中的某点v，从而推出不动点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备锥度量空间中，T-Kannan压缩映射S在何种条件下具有唯一不动点？
• RQ2 控制函数T的引入如何影响锥度量空间中迭代序列的收敛性？
• RQ3 能否通过T-压缩映射将Kannan与Chatterjea的不动点定理推广至锥度量空间？
• RQ4 正规锥性质在证明不动点收敛性与唯一性中起何种作用？
• RQ5 T的连续性与序列收敛性如何影响(Sⁿx₀)收敛于不动点？

主要发现

• 在具有正规锥且T连续、单射的完备锥度量空间中，对于T-Kannan压缩映射S，序列(TSⁿx₀)收敛于M中的某点v。
• 若T为子序列收敛，则(Sⁿx₀)具有收敛子列；若T为序列收敛，则(Sⁿx₀)收敛于唯一不动点u。
• S的不动点u满足Su = u，且在给定的T-Kannan压缩条件下唯一。
• d(TSⁿx₀, TSⁿ⁺¹x₀)的收敛速率呈几何级数，其上界为hⁿ‖d(TSx₀, TSx₁)‖，其中h = b/(1−b) < 1。
• 当T为恒等映射时，结果退化为完备度量空间中Kannan原始不动点定理。
• 例2证实，[0,1]上定义的Sx = x/2与Tx = x²构成T-Kannan压缩映射，但非标准Kannan压缩映射，且在0处有唯一不动点。