[论文解读] Cone spherical metrics and stable vector bundles

Lingguang Li, Jijian Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文建立了在亏格 $g > 1$ 的紧黎曼曲面上，具有整数倍锥角 $2/piackslashmathbb{Z}_{>1}$ 的不可约锥面球面度量与稳定秩二向量丛的线子丛之间的一一对应关系。证明了关于负度数线丛 $L$ 的 $L^*$ 对 $L$ 的稳定扩张的 Lange 型存在性定理，并通过此代数框架构造了一类新的不可约球面度量。

ABSTRACT

Cone spherical metrics are conformal metrics with constant curvature one and finitely many conical singularities on compact Riemann surfaces. A cone spherical metric is called irreducible if each developing map of the metric does not have monodromy lying in ${ m U(1)}$. We establish on compact Riemann surfaces of positive genera a correspondence between irreducible cone spherical metrics with cone angles being integral multiples of $2π$ and line subbundles of rank two stable vector bundles. Then we are motivated by it to prove a theorem of Lange-type that there always exists a stable extension of $L^*$ by $L$, for $L$ being a line bundle of negative degree on each compact Riemann surface of genus greater than one. At last, as an application of these two results, we obtain a new class of irreducible spherical metrics with cone angles being integral multiples of $2π$ on each compact Riemann surface of genus greater than one

研究动机与目标

• 建立在亏格 $g > 1$ 的紧黎曼曲面上，具有整数倍锥角 $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ 的不可约锥面球面度量与稳定秩二向量丛的线子丛之间的一一对应关系。
• 证明关于在亏格 $g > 1$ 的曲面上，负度数线丛 $L$ 的 $L^*$ 对 $L$ 的稳定扩张的存在性定理，推广了 Lange 的经典结果。
• 将上述对应关系与存在性结果应用于构造在每个亏格大于一的紧黎曼曲面上，具有整数倍锥角的不可约锥面球面度量的新类。

提出的方法

• 利用锥面球面度量的展开映射，将其单值性表示与 $\mathrm{PSU}(2)$ 中的单位表示联系起来，从而刻画不可约度量。
• 应用抛物丛与稳定向量丛的理论，特别关注具有平凡行列式之稳定秩二丛的线子丛。
• 采用代数几何技术，包括层的扩张与局部模分解，分析向量丛及其子丛的结构。
• 利用模空间中稳定性在开性性质，证明一般层的扩张可产生稳定丛。
• 应用 Gauss-Bonnet 公式与曲率约束，确保度量具有常曲率一及锥形奇点。
• 通过具有单位单值性与分支除子等于锥点除子的射影函数构造度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亏格 $g > 1$ 的紧黎曼曲面上，是否存在具有锥角属于 $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ 的不可约锥面球面度量与稳定秩二向量丛的线子丛之间的一一对应？
• RQ2 当 $L$ 是亏格 $g > 1$ 的曲面上的负度数线丛时，能否证明关于 $L^*$ 对 $L$ 的稳定扩张的 Lange 型存在性定理？
• RQ3 度量与稳定丛之间的对应关系是否能为每个亏格大于一的紧黎曼曲面提供一类新的具有整数倍锥角的不可约锥面球面度量？

主要发现

• 在亏格 $g > 1$ 的紧黎曼曲面上，具有锥角属于 $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ 的不可约锥面球面度量与具有平凡行列式的稳定秩二向量丛的线子丛之间存在一一对应关系。
• 对于任意在亏格 $g > 1$ 的紧黎曼曲面上的负度数线丛 $L$，存在一个 $L^*$ 对 $L$ 的稳定扩张，推广了 Lange 的经典结果。
• 在每个亏格大于一的紧黎曼曲面上，都存在一类新的具有锥角属于 $2\pi\mathbb{Z}_{>1}$ 的不可约锥面球面度量。
• 该构造依赖于稳定扩张的存在性与抛物丛的代数结构，通过单值性条件确保度量的不可约性。
• 该方法证明了模空间中一般层的扩张可产生稳定丛，利用了代数几何中稳定性的开性性质。
• 结果为构造具有整数锥角的不可约球面度量提供了完整的代数框架，解决了特殊情形下长期存在的存在性问题。