[论文解读] Cones over pseudo-Riemannian manifolds and their holonomy

Dmitri V. Alekseevsky, Vicente Cortés+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文研究了伪黎曼流形上度量锥的全纯性性质，将加洛特的经典黎曼结果推广至不定度量签名情形。研究证明：在紧致、完备的伪黎曼流形上构造的锥，其全息性要么为平坦，要么为不可约全息性，并在洛伦兹情形以及锥流形存在互补的零化分布时，完全分类了局部全息代数。

ABSTRACT

By a classical theorem of Gallot (1979), a Riemannian cone over a complete Riemannian manifold is either flat or has irreducible holonomy. We consider metric cones with reducible holonomy over pseudo-Riemannian manifolds. First we describe the local structure of the base of the cone when the holonomy of the cone is decomposable. For instance, we find that the holonomy algebra of the base is always the full pseudo-orthogonal Lie algebra. One of the global results is that a cone over a compact and complete pseudo-Riemannian manifold is either flat or has indecomposable holonomy. Then we analyse the case when the cone has indecomposable but reducible holonomy, which means that it admits a parallel isotropic distribution. This analysis is carried out, first in the case where the cone admits two complementary distributions and, second for Lorentzian cones. We show that the first case occurs precisely when the local geometry of the base manifold is para-Sasakian and that of the cone is para-Kählerian. For Lorentzian cones we get a complete description of the possible (local) holonomy algebras in terms of the metric of the base manifold.

研究动机与目标

• 将加洛特关于黎曼锥的定理推广至不定度量签名的伪黎曼流形。
• 刻画当锥具有可分解或可约全息性时，基流形的局部与整体几何性质。
• 对洛伦兹锥及存在平行零化分布的锥，分类可能的全息代数。
• 建立在紧致、完备伪黎曼流形上构造的锥为平坦或具有不可约全息性的条件。

提出的方法

• 分析度量锥 $\widehat{M} = \mathbb{R}^+ \times M$ 在度量 $\widehat{g} = dr^2 + r^2 g$ 下的全息代数。
• 利用吴定理，将全息性的可分解性与基流形的局部积结构联系起来。
• 应用微分几何技巧研究锥上的测地线与平行分布。
• 推导出形如 $g = -ds^2 + \mathrm{e}^{-2s}g_N$ 或 $g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ 的局部度量分解。
• 应用 [Lei06] 中关于双重加权积流形全息性的结果，推导全息代数结构。
• 利用与向量场 $\tilde{Z}$ 相关的函数 $\alpha$ 的梯度，推导局部纤维化结构与度量分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，伪黎曼锥的全息性是可分解的？其基流形的结构如何？
• RQ2 当锥流形的基为紧致且完备时，其几何为何为平坦？
• RQ3 在完备流形上构造的洛伦兹锥，其可能的全息代数有哪些？
• RQ4 锥上存在平行零化分布时，如何约束基流形的几何结构？
• RQ5 当锥具有不可约但可约全息性时，其基流形的局部几何特征为何？

主要发现

• 若一完备伪黎曼流形上构造的锥具有可分解全息性，则其基流形的全息代数为 $\mathfrak{so}(p,q)$。
• 基流形局部上允许如下形式的度量分解：$g = ds^2 + \cos^2 s\, g_1 + \sin^2 s\, g_2$ 或 $g = -ds^2 + \mathrm{cosh}^2 s\, g_1 + \mathrm{sinh}^2 s\, g_2$。
• 对于紧致且完备的基流形，锥要么为平坦，要么具有不可约全息性，且基流形具有常曲率 1。
• 当锥流形存在两个互补的平行零化分布时，基流形为伪萨斯坎几何流形，且锥为伪凯勒流形。
• 在洛伦兹情形下，锥的全息代数同构于 $\mathfrak{hol}(N,g_N) \ltimes \mathbb{R}^{\dim N}$，其中 $g_N$ 是函数 $\alpha$ 的水平集上的黎曼度量。
• 对于完备的洛伦兹基流形，局部度量分解可整体延拓为 $\widehat{g} = 2dxdy + y^2 g_N$，其中 $\alpha = e^{-s}$ 且 $s \in \mathbb{R}$。