[论文解读] Confidence Sets in Boundary and Set Estimation

Hanna Jankowski, Larissa Stanberry|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2009

Control Systems and Identification参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文提出了一种新方法，用于构建由函数不等式定义的集合和边界（如 {x: f(x) ≤ p} 或 {x: p1 ≤ f(x) ≤ p2}）的置信区域，方法是使用随机集的经验平均。该文建立了这些集合的一致性条件，并通过置信区域提供了强一致性和波动行为的理论保证，适用于边界和集合估计。

ABSTRACT

Abstract. Let p1 ≤ p2 and consider estimating a fixed set {x: p1 ≤ f(x) ≤ p2} by the random set {x: p1 ≤ fn(x) ≤ p2}, where fn is a consistent estimator of the continuous function f. This paper gives consistency conditions for these sets, and provides a new method to construct confidence regions from empirical averages of sets. The method can also be used to construct confidence regions for sets of the form {x: f(x) ≤ p} and {x: f(x) = p}. We then apply this approach to set and boundary estimation. We describe conditions for strong consistency for the empirical average sets and study the fluctuations of these via confidence regions. We illustrate the proposed methods on several examples. 1.

研究动机与目标

• 开发一种用于构建由函数不等式定义的集合（如 {x: f(x) ≤ p} 或 {x: p1 ≤ f(x) ≤ p2}）的置信区域的方法。
• 建立在边界和集合估计问题中，经验平均集合几乎必然收敛到真实集合的条件。
• 通过置信区域研究经验集合的波动行为，确保统计可靠性。
• 通过将边界视为连续函数的水平集，将该框架扩展到边界估计。

提出的方法

• 使用经验平均随机集 {x: p1 ≤ fn(x) ≤ p2} 作为真实集合 {x: p1 ≤ f(x) ≤ p2} 的一致估计量，其中 fn 是 f 的一致估计量。
• 应用强一致性结果，确保在 f 和 fn 的适度正则性条件下，经验集合以概率 1 收敛到真实集合。
• 通过分析经验集合围绕真实集合的波动，利用经验过程理论推导估计集合的置信区域。
• 通过利用经验集合的收敛性质，构建水平集 {x: f(x) = p} 和 {x: f(x) ≤ p} 的置信区域。
• 采用经验过程技术量化经验集合与真实集合之间的偏差，从而实现有限样本的置信陈述。
• 通过理论分析和示例验证该方法，证明其在实际估计场景中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为由连续函数 f 定义的不等式集合（如 {x: f(x) ≤ p}）构建置信区域？
• RQ2 在边界和集合估计中，什么条件能确保经验平均集合的强一致性？
• RQ3 经验集合的波动行为如何表现，如何通过置信区域进行量化？
• RQ4 所提出的方法能否扩展用于将边界作为函数的水平集进行估计？
• RQ5 针对所构建置信区域的收敛性和覆盖性，能提供哪些理论保证？

主要发现

• 在 f 和估计量 fn 的适度正则性条件下，经验平均集合 {x: p1 ≤ fn(x) ≤ p2} 几乎必然收敛到真实集合 {x: p1 ≤ f(x) ≤ p2}。
• 通过分析经验集合围绕真实集合的波动，该方法为形式为 {x: f(x) ≤ p} 和 {x: f(x) = p} 的集合提供了有效的置信区域。
• 在确保 fn 在感兴趣区域上一致收敛到 f 的条件下，建立了经验集合的强一致性。
• 利用经验过程理论构建估计集合的置信区域，从而实现有限样本的覆盖保证。
• 理论结果表明，随着样本量增加，所提方法能保持正确的覆盖概率。
• 示例验证了该方法在边界和集合估计任务中的实际可行性与鲁棒性。