[论文解读] Configuration spaces over singular spaces -- I. Dirichlet-Form and Metric Measure Geometry

Lorenzo Dello Schiavo, Kohei SUZUKI|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 60被引用 6

一句话总结

本文通过构建一个强局部 Dirichlet 形式并将其与 $L^2$-运输距离的 Cheeger 能量相等，建立了在奇异基空间上的配置空间的典范微分结构。证明了 Dirichlet 形式的内在距离与 $L^2$-运输距离一致，统一了广泛类别的基空间和不变测度的分析与几何结构，包括次黎曼流形、$\sigma$-有限空间以及各类点过程。

ABSTRACT

We construct a canonical differential structure on the configuration space $Υ$ over a singular base space $X$ and with a general invariant measure $μ$ on $Υ$. We present an analytic structure on $Υ$, constructing a strongly local Dirichlet form $\mathcal E$ on $L^2(Υ, μ)$ for $μ$ in a large class of probability measures. We then investigate the geometric structure of the extended metric measure space $Υ$ endowed with the $L^2$-transportation extended distance $\mathsf{d}_Υ$ and with the measure $μ$. By establishing Rademacher- and Sobolev-to-Lipschitz-type properties for $\mathcal E$, we finally provide a complete identification of the analytic and the geometric structure -- the canonical differential structure induced on $Υ$ by $X$ and $μ$ -- showing that $\mathcal E$ coincides with the Cheeger energy of $(Υ,\mathsf{d}_Υ,μ)$ and that the intrinsic distance of $\mathcal E$ coincides with $\mathsf{d}_Υ$. The class of base spaces to which our results apply includes sub-Riemannian manifolds, RCD spaces, and path/loop spaces over Riemannian manifolds; as for $μ$ our results include quasi-Gibbs measures, in particular: Poisson measures, canonical Gibbs measures, as well as some determinantal/permanental point processes (sine$_β$, Airy$_β$, Bessel$_{α,β}$, Ginibre). A number of applications to interacting particle systems and infinite-dimensional metric measure geometry are also discussed. In particular, we prove the universality of the $L^2$-transportation distance $\mathsf{d}_Υ$ for the Varadhan short-time asymptotics for diffusions on $Υ$, regardless of the choice of $μ$. Many of our results are new even in the case of configuration spaces over Euclidean spaces.

研究动机与目标

• 在不假设参考测度光滑性或准不变性的情况下，为奇异基空间上的配置空间发展典范微分结构。
• 为一大类概率测度 $\mu$ 构造 $L^2({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$ 上的强局部 Dirichlet 形式。
• 将 Dirichlet 形式的内在距离与 $L^2$-运输距离 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 识别。
• 证明 Dirichlet 形式的准正则性，确保马尔可夫扩散过程的存在与唯一性。
• 建立 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 对 $\boldsymbol{\Upsilon}$ 上扩散过程的 Varadhan 型短时间渐近行为的普遍性。

提出的方法

• 通过张量化与条件测度在 $L^2({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$ 上构造 Dirichlet 形式 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$，确保其闭合性与强局部性。
• 将 $L^2$-运输距离 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 作为配置空间 $\boldsymbol{\Upsilon}$ 上的几何结构，由基空间的度量与测度诱导。
• 应用类 Rademacher 与 Sobolev 到 Lipschitz 型性质，连接分析与几何结构。
• 利用测度的分解与条件 Dirichlet 形式，将能量密度 $\Gamma^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 识别为梯度的逐点范数。
• 应用 $\mathsf{RCD}$ 空间理论与局部 Poincaré 不等式，将结果推广至奇异基空间。
• 证明 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 与度量测度空间 $({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$ 的 Cheeger 能量一致，且 $\mathcal{E}$ 的内在距离等于 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设参考测度光滑性或准不变性的情况下，在奇异基空间上的配置空间上构造典范 Dirichlet 形式？
• RQ2 $L^2$-运输距离 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 是否与 Dirichlet 形式诱导的内在距离一致？
• RQ3 Dirichlet 形式 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 是否准正则，从而确保唯一马尔可夫过程的存在？
• RQ4 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 是否对广泛类别的不变测度普遍控制 $\boldsymbol{\Upsilon}$ 上扩散过程的短时间渐近行为？
• RQ5 $({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$ 的 Cheeger 能量能否与 Dirichlet 形式 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 识别？

主要发现

• 在最小假设下，Dirichlet 形式 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 是强局部且准正则的，确保 $\boldsymbol{\Upsilon}$ 上马尔可夫扩散过程的存在与唯一性。
• Dirichlet 形式 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 的内在距离与 $L^2$-运输距离 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 一致。
• $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$ 被识别为度量测度空间 $({\boldsymbol{\Upsilon}}, \mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}, \mu)$ 的 Cheeger 能量。
• Rademacher 性质成立：每个 $\mathcal{E}^{{\boldsymbol{\Upsilon}},{\mu}}$-Sobolev 函数几乎处处为 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$-Lipschitz。
• $L^2$-运输距离 $\mathsf{d}_{\boldsymbol{\Upsilon}}$ 对广泛类别的不变测度 $\mu$ 普遍控制 $\boldsymbol{\Upsilon}$ 上扩散过程的 Varadhan 短时间渐近行为。
• 结果适用于广泛类别的基空间，包括次黎曼流形、$\mathsf{RCD}^*(K,N)$、$\mathsf{RCD}(K,\infty)$ 以及路径/环路空间，以及测度如泊松、吉布斯与行列式点过程。