[论文解读] Confinement/Deconfinement Transition of Large N Gauge Theories in Perturbation Theory with N_f Fundamentals: N_f/N Finite

Howard J. Schnitzer|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用 12

一句话总结

本文表明，在有限的fundamental flavor数与规范群秩之比（$N_f/N$）下，大$N$规范理论即使在有限的't Hooft耦合下，其微扰理论中也表现出三阶禁闭/脱禁闭相变。该相变源于有效作用量的自由能，由于酉矩阵模型的鞍点方程结构，其表现出三阶行为，暗示对偶弦理论经历三阶Hawking–Page相变进入大黑洞态。

ABSTRACT

In hep-th/0402219 we considered large N zero-coupling d-dimensional U(N) gauge theories, with N_f matter fields in the fundamental representation on a compact spatial manifold S^{d-1}x time, with N_f/N finite. This class of theories undergo a 3rd order deconfinement transition. As a consequence it was proposed that the dual string theory has a 3rd order phase-transition to a black hole at high temperature. In this paper we argue that the same conclusions are valid for such theories at any finite order in perturbation theory in the 't Hooft coupling lambda and N_f/N. It is conjectured that this continues to hold at strong coupling and finite value of N_f/N < (1/lambda), which suggests that the supergravity approximation to the dual string theory has a 3rd order thermal phase transition to a large black hole.

研究动机与目标

• 研究在有限't Hooft耦合$\lambda$的微扰理论中，零耦合下大型$N$规范理论中观察到的三阶禁闭/脱禁闭相变是否仍然存在。
• 确定相结构，特别是常数本征值分布$\rho(\theta) = 1/(2\pi)$是否在$\lambda$和$N_f/N$的有限阶下仍然成立。
• 探讨对偶弦理论的含义，特别是当$N_f/N$为有限且$\lambda$较强时，是否可能发生向大黑洞的三阶Hawking–Page相变。
• 推测在$N_f/N < 1/\lambda$且$g_s N \gg 1$条件下，三阶相变在微扰理论之外依然存在，该条件在超引力极限下成立。

提出的方法

• 将有效作用量$S_{\text{eff}}$构造成在't Hooft耦合$\lambda$和$N_f/N$中的双重展开，使用酉矩阵模型描述规范场零模。
• 定义酉矩阵$U = e^{i\alpha/T}$的本征值密度$\rho(\theta)$，其中$u_n = \frac{1}{N} \text{Tr}(U^n)$，以描述相结构。
• 分析$u_n$的鞍点方程，表明在$\lambda$和$N_f/N$的任意有限阶下，$u_n = 0$（$n \geq 1$）不是解，从而排除$\rho(\theta) = 1/(2\pi)$。
• 通过$F(g_k, \bar{g}_k)$的行为识别相变，当$\rho(\pi) = 0$时，对应$g_1 = \bar{g}_1 \simeq 1/2$，表现出三阶相变。
• 利用分解$S_{\text{eff}} = -F(g_k, \bar{g}_k) + f(g_k, \bar{g}_k)$，其中$f$为光滑函数，$F$具有三阶奇点，论证总作用量继承了$F$的三阶性质。
• 推测在$N_f/N < 1/\lambda$和$g_s N \gg 1$条件下，三阶相变在强耦合下依然存在，意味着在超引力对偶中出现三阶Hawking–Page相变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限't Hooft耦合的微扰理论中，零耦合下大型$N$规范理论中观察到的三阶禁闭/脱禁闭相变是否仍然存在？
• RQ2 在$\lambda$和$N_f/N$的有限阶下，本征值分布$\rho(\theta)$是否可能在低温相中为常数？
• RQ3 在有效作用量中，低温相$A_0$与高温相$A_1$之间的相变性质是什么？
• RQ4 当光滑函数$f(g_k, \bar{g}_k)$与$F(g_k, \bar{g}_k)$组合时，自由能$F(g_k, \bar{g}_k)$的三阶行为是否得以保留？
• RQ5 当$N_f/N$为有限且非零时，对偶弦理论是否可能表现出向大黑洞的三阶Hawking–Page相变？

主要发现

• 在$\lambda$和$N_f/N$的双重展开的任意有限阶下，酉矩阵模型的鞍点方程不接受$\rho(\theta) = 1/(2\pi)$的解，从而在低温相中排除了均匀本征值分布。
• 低温相$A_0$具有非均匀的$\rho(\theta)$，覆盖$[0, 2\pi)$区间，而高温相$A_1$的本征值分布中仅存在一个间隙。
• 相变在临界温度$T_c$处发生，低于Hagedorn温度，且为三阶相变，由自由能的三阶导数信号指示。
• 有效作用量$S_{\text{eff}} = -F(g_k, \bar{g}_k) + f(g_k, \bar{g}_k)$继承了$F(g_k, \bar{g}_k)$的三阶奇点，其中$f$为光滑函数，确保整体相变为三阶。
• 作者推测，该三阶相变在$N_f/N < 1/\lambda$条件下于强耦合下依然存在，意味着在超引力对偶中出现三阶Hawking–Page相变。
• 目前尚无已知的弦理论对偶表现出向有限$N_f/N$的黑洞的三阶相变，这在AdS/CFT对应中构成了一个重要的开放挑战。