[论文解读] Confinement of dislocations inside a crystal with a prescribed external strain

Ilaria Lucardesi, Marco Morandotti+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文研究了在平面剪切载荷下，二维各向同性晶体中 $n$ 个螺型位错的局域化问题，采用核心半径方法对位错附近的奇异弹性能进行正则化。当外部应变的边界积分为 $2\beta n$ 时，系统在能量上偏好在晶体内部形成 $n$ 个独立的位错，且当 $\epsilon \to 0$ 时，极限能量泛函确认了这些位错在中心附近或在对称性约束下稳定局域化的配置。

ABSTRACT

A system of $n$ screw dislocations in an isotropic crystal undergoing antiplane shear is studied in the framework of linear elasticity. Imposing a suitable boundary condition for the strain, namely requesting the non-vanishing of its boundary integral, results in a confinement effect. More precisely, in the presence of an external strain with circulation equal to n times the lattice spacing, it is energetically convenient to have n distinct dislocations lying inside the crystal. The result is obtained by formulating the problem via the core radius approach and by studying the asymptotics as the core size vanishes. An iterative scheme is devised to prove the main result. This work sets the basis for studying the upscaling problem, i.e., the limit as $n o\infty$, which is treated in [17].

研究动机与目标

• 理解在反平面剪切作用下，$n$ 个螺型位错在晶体中的能量稳定机制。
• 分析具有指定环量 $2\pi n$ 的外部应变在位错晶体内部局域化中的作用。
• 在核心半径 $\epsilon \to 0$ 的极限下，证明正则化能量泛函存在极小化元，确保位错保持分离且位于内部。
• 为后续工作 [17] 中的宏观尺度极限 $n \to \infty$ 奠定基础。

提出的方法

• 在穿孔区域 $\Omega_\epsilon(\mathbf{a}) = \Omega \setminus \bigcup_{i=1}^n \overline{B}_\epsilon(a_i)$ 中构建弹性能，排除位错核心区域。
• 采用核心半径方法对位错附近应变场的对数奇点进行正则化。
• 在 $\partial\Omega$ 上施加切向应变边界条件 $F \cdot \tau = f$，并满足 $\int_{\partial\Omega} f \, d\mathcal{H}^1 = 2\pi n$，以实现拓扑局域化。
• 将能量泛函 $\mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a})$ 定义为在满足散度为零且环量固定的场中，$\frac{1}{2} \int_{\Omega_\epsilon} |F|^2$ 的最小值。
• 引入重整化能量 $\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) = \mathcal{E}_\epsilon^{(n)}(\mathbf{a}) - \pi n |\log \epsilon|$，以研究 $\epsilon \to 0$ 时的极限行为。
• 采用迭代格式与紧致性论证，证明极小化元的存在性，并证明其收敛至极限能量泛函 $\mathcal{F}^{(n)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有环量 $2\pi n$ 的外部应变可导致晶体内部 $n$ 个独立位错的局域化？
• RQ2 核心半径正则化如何影响 $\epsilon \to 0$ 时弹性能的渐近行为？
• RQ3 极限能量泛函 $\mathcal{F}^{(n)}$ 是否可被最小化？其极小化元揭示了位错构型的何种信息？
• RQ4 在不同边界应变分布下，$\epsilon \to 0$ 时位错的空间分布如何？
• RQ5 当 $n \to \infty$ 时，能量与位错位置如何变化，特别是在对称构型下？

主要发现

• 能量泛函 $\mathcal{F}_\epsilon^{(n)}$ 有下界，且在一组 $n$ 个互异点 $\mathbf{a}^\epsilon$ 处取得最小值，这些点与边界距离至少为 $\delta > 0$。
• 当 $\epsilon \to 0$ 时，极小化元 $\mathbf{a}^\epsilon$（沿子序列）收敛至极限能量 $\mathcal{F}^{(n)}$ 的极小化元，证实了位错构型的稳定局域化。
• 当 $n=1$ 且区域为圆形时，能量景观具有轴对称性，且在 $f=1$ 时最小值位于中心；当 $f$ 不对称时，最小值向应变较高的区域偏移。
• 当 $n \geq 2$ 时，对中心位于原点的正 $n$ 边形构型最小化 $\mathcal{F}^{(n)}$，可得 $\mathrm{dist}(\mathbf{p}_n, \partial\Omega) \sim 1/n$ 且 $|\mathcal{F}^{(n)}(\mathbf{p}_n)| \sim n^2$（当 $n \to \infty$），表明局域化程度增强且能量呈平方增长。
• 极限能量泛函 $\mathcal{F}^{(n)}$ 在 $\overline{\Omega}^n$ 上连续且强制，确保了 $\epsilon \to 0$ 极限下极小化元的存在性。
• 数值结果表明，$\mathcal{F}^{(1)}$ 的能量剖面能很好地近似小 $\epsilon$ 下 $\mathcal{E}_\epsilon^{(1)}$ 的物理能量景观，验证了渐近模型的有效性。