[论文解读] Confining non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp\,(2|x|)$ and its exact Bessel-function solvability

Ryu Sasaki|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文研究了一维薛定谔方程在束缚非解析指数势 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ 下的精确可解性，表明其束缚态由第二类修正贝塞尔函数 $K_{i u}(\rho)$ 描述，其阶数为纯虚数。能量本征值 $E_n = \nu_n^2$ 由 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的纯虚零点确定，从而建立了一类基于贝塞尔函数零点的新精确可解量子系统。

ABSTRACT

In a previous paper we have shown that Schrödinger equation with the non-analytic attractive exponential potential $V(x)= -g^2\exp (-|x|)$ is exactly solvable. It has finitely many discrete eigenstates described by the Bessel function of the first kind $J_ν(z)$ and the eigenvalues are specified by the positive zeros of $J_ν(g)$ and $J'_ν(g)$ as a function of the order $ν$ with fixed $g>0$. Now we show the corresponding results for the {\em confining\/} non-analytic exponential potential $V(x)= g^2\exp (2|x|)$. This has infinitely many discrete eigenstates described by the modified Bessel function of the second kind $K_{iν}(z)$. The eigenvalues are specified by the {\em pure imaginary zeros\/} of $K_{iν}(g)$ and $K'_{iν}(g)$ as a function of the order with fixed $g>0$.

研究动机与目标

• 建立一维量子力学中束缚非解析指数势 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ 的精确可解性。
• 利用第二类修正贝塞尔函数的纯虚阶 $i\nu$ 推导束缚态的完整离散谱。
• 将能量本征值 $E_n = \nu_n^2$ 确定为固定 $g>0$ 时 $\nu$ 的函数 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的零点。
• 推导 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的纯虚零点的正交关系与渐近分布律。

提出的方法

• 通过辅助变量 $\rho(x) = g e^{|x|}$ 将薛定谔方程转化为贝塞尔型微分方程，将问题映射为径向形式。
• 利用修正贝塞尔函数 $I_{i\nu}(\rho)$ 和 $K_{i\nu}(\rho)$ 求解所得方程，选择 $K_{i\nu}(\rho)$ 以保证在无穷远处的可归一化性。
• 在 $x=0$ 处施加宇称不变的边界条件，以选取偶宇称与奇宇称本征函数，从而导出涉及 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的匹配条件。
• 通过要求本征函数在匹配点 $\rho = g$ 处为零，即 $K_{i\nu}(g) = 0$ 或 $K'_{i\nu}(g) = 0$，来确定本征值 $E_n = \nu_n^2$。
• 利用雅可比行列式恒等式与沃森关于贝塞尔函数的专著中的不定积分公式，推导本征函数的正交关系。
• 使用 WKB 近似推测大 $n$ 时纯虚零点 $\nu_n$ 的渐近分布，导出类似玻尔-索末菲的量子化条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一维量子力学中精确求解束缚指数势 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$？
• RQ2 第二类修正贝塞尔函数 $K_{i\nu}$（阶数为纯虚数 $i\nu$）在描述该势能束缚态中起什么作用？
• RQ3 能量本征值 $E_n = \nu_n^2$ 如何由固定 $g>0$ 时 $\nu$ 的函数 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的零点确定？
• RQ4 由 $K_{i\nu}(\rho)$ 构造的本征函数满足何种正交关系？
• RQ5 当 $n$ 很大时，$K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的纯虚零点 $\nu_n$ 的渐近分布是什么？

主要发现

• 薛定谔方程在 $V(x) = g^2 \exp(2|x|)$ 下具有无限多个离散束缚态，其能量本征值 $E_n = \nu_n^2$ 由固定 $g>0$ 时 $\nu$ 的函数 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的零点确定。
• 本征函数以第二类修正贝塞尔函数 $K_{i\nu}(\rho)$ 表示，其中 $\rho(x) = g e^{|x|}$，并满足所需的可归一化性与宇称条件。
• $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的零点 $\nu_n$ 交错且为单重零点，满足 $0 < \lambda_0 < \mu_0 < \lambda_1 < \mu_1 < \cdots$，其中 $\lambda_n$ 和 $\mu_n$ 分别为 $K_{i\nu}(g)$ 和 $K'_{i\nu}(g)$ 的零点。
• 建立了本征函数的正交关系：对于偶宇称，有 $\int_x^\infty K_{i\lambda_j}(\rho) K_{i\lambda_k}(\rho) \frac{d\rho}{\rho} = 0$（当 $j \neq k$ 时）；奇宇称情形类似，使用 $\mu_n$。
• 提出了 $n$ 阶纯虚零点的渐近分布猜想：$\nu_n \,{\rm arccosh}(\nu_n / g) - \sqrt{\nu_n^2 - g^2} = \frac{(n + \frac{1}{2})\pi}{2}$（当 $n \gg 1$ 时），该结果与 WKB 近似一致。
• 第 $L$ 重关联哈密顿系统本征函数满足基于朗斯基行列式（Wronskian）的正交关系，涉及 $K_{i\nu_j}(\rho)$ 的朗斯基行列式乘积，从而证实了谱的完备性。