[论文解读] Confluence of nearly orthogonal infinitary term rewriting systems

Łukasz Czajka|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Logic, programming, and type systems被引用 4

一句话总结

本文提出了一套实用的、基于集合论的共归纳证明与共递归定义的基础，表明在编程语言理论和形式化方法中常见的非正式共归纳推理，可系统地简化为超限归纳法。通过基本的集合论构造，该文证明了受保护的和嵌套的共归纳证明的合理性，使验证过程无需依赖形式类型论工具，并确立了此类证明可正式消去为标准的 ZFC 风格推理。

ABSTRACT

We introduce two coinduction principles and two proof translations which, under certain conditions, map coinductive proofs that use our principles to guarded Coq proofs. The first principle provides an "operational" description of a proof by coinduction, which is easy to reason with informally. The second principle extends the first one to allow for direct proofs by coinduction of statements with existential quantifiers and multiple coinductive predicates in the conclusion. The principles automatically enforce the correct use of the coinductive hypothesis. We implemented the principles and the proof translations in a Coq plugin.

研究动机与目标

• 为编程语言理论和形式化方法中常见的非正式共归纳证明风格提供清晰、易懂的合理性解释。
• 证明使用共归纳假设的共归纳证明可正式简化为 ZFC 集合论中的超限归纳法。
• 在不依赖类型论中的受保护性或大小类型的前提下，为共递归定义提供语义上的、基于集合论的解释。
• 通过直接归约为不动点理论与单调性，证明嵌套和互共归纳证明的合理性。
• 通过展示其可正式消去为标准数学推理，使共归纳如同归纳一样可信且透明。

提出的方法

• 通过将共归纳证明归约为序数阶段上的良好基础归纳，使用超限归纳法来证明共归纳证明的合理性。
• 将共项（coterms）定义为从 N* 到构造子的偏函数，通过带类型一致性的标记树来建模无限项。
• 通过确保深度递减的生成函数，引入‘受保护’共递归定义的概念，以保证定义的良定性。
• 应用 Knaster-Tarski 不动点定理，将最大不动点表征为 νF = ⋃{X | X ⊆F(X)}，其中 F 为单调函数。
• 使用 Bekić 原理将互共归纳定义分解为嵌套的最大不动点。
• 将斯科伦化后的共归纳命题归约为具有受保护递归结构的共递归函数定义，以确保唯一性与良定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在集合论中正式证明使用共归纳假设的非正式共归纳证明的合理性？
• RQ2 在何种条件下，对无限项的共递归定义是良定且唯一的？
• RQ3 如何将嵌套或互共归纳定义归约为标准集合论不动点构造？
• RQ4 在何种意义上，共归纳推理可被消去为超限归纳法？
• RQ5 在不使用类型论工具的前提下，受保护性在确保共递归定义正确性方面起什么作用？

主要发现

• 使用共归纳假设的共归纳证明可系统地归约为超限归纳法，使其在标准 ZFC 集合论中的正确性变得透明。
• 若其生成函数在深度上严格递减，则共递归定义是良定的，确保收敛到唯一函数。
• 通过 Bekić 原理，互共归纳定义可归约为嵌套的最大不动点，从而保证一致性和唯一性。
• 本文确立了，在无大小类型或类型论受保护机制的前提下，对共项的受保护共递归定义可唯一确定函数。
• 嵌套共归纳证明（如证明两个归约收敛至同一项）可通过斯科伦化并定义具有受保护结构的共递归函数来形式化。
• 本文表明，[28, 13, 35, 34, 33] 风格的非正式共归纳证明可正式消去为标准数学推理，如同归纳证明一样。