[论文解读] Conformable Fractional Bessel Equation and Bessel Functions

Ahmet Gökdoğan, Emrah Ünal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过一种新的分数阶导数定义，引入了共形分数阶贝塞尔方程，并推导出其在正则奇点 x=0 处的分数阶幂级数解。文中建立了分数阶贝塞尔函数，并与经典解进行比较，揭示了在结构和行为上的关键差异，特别是在共形框架下级数解的收敛性和形式方面。

ABSTRACT

In this work, we study the fractional power series solutions around regular singular point x=0 of conformable fractional Bessel differential equation and fractional Bessel functions. Then, we compare fractional solutions with ordinary solutions. In addition, we present certain property of fractional Bessel functions.

研究动机与目标

• 通过最近定义的分数阶导数研究共形分数阶贝塞尔微分方程。
• 推导在正则奇点 x=0 处的分数阶幂级数解。
• 在共形微积分框架内定义并分析分数阶贝塞尔函数。
• 比较分数阶解与经典贝塞尔函数解的性质与结构。
• 识别并呈现分数阶贝塞尔函数的一个关键分析性质。

提出的方法

• 将阶数为 α ∈ (0,1] 的共形分数阶导数应用于经典贝塞尔方程。
• 通过用标准导数替换为共形分数阶导数，推导出共形分数阶贝塞尔方程。
• 使用福克斯方法（Frobenius 方法）在 x=0 处获得分数阶幂级数解。
• 假设解的形式为含未知系数的分数阶幂级数，以求解递推关系。
• 分析指标方程，以确定解在正则奇点处的行为。
• 从结构和收敛性方面，比较所得分数阶贝塞尔函数与经典贝塞尔函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形分数阶导数如何改变经典贝塞尔微分方程？
• RQ2 共形分数阶贝塞尔方程在 x=0 处的分数阶幂级数解是什么？
• RQ3 分数阶贝塞尔函数在形式和行为上与经典贝塞尔函数有何不同？
• RQ4 所推导的分数阶幂级数解的收敛行为如何？
• RQ5 在共形框架下，分数阶贝塞尔函数的内在性质是什么？

主要发现

• 通过将标准导数替换为阶数 α ∈ (0,1] 的共形分数阶导数，推导出共形分数阶贝塞尔方程。
• 成功地使用福克斯方法在正则奇点 x=0 处构造出分数阶幂级数解。
• 分数阶贝塞尔函数在结构上与经典贝塞尔函数存在差异，尤其体现在级数系数的形式上。
• 由于共形导数的性质，分数阶级数中系数的递推关系与经典情况显著不同。
• 识别出分数阶贝塞尔函数的一个关键分析性质，使其与经典对应物相区别。
• 分数阶解与经典解的比较表明，分数阶解在与经典解相同的条件下收敛，但其系数动态发生了改变。