[论文解读] Conformal blocks and Painlevé functions

Hajime Nagoya|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 9

一句话总结

该论文提出了一个关于具有一个秩一不规则奇点和两个正则奇点的三点多不规则共形块的猜想性组合展开公式，以斜杨图对表示。该公式涉及Painlevé方程的tau函数，其系数由钩长乘积和与划分相关的函数构成，通过一种新颖的组合结构将AGT对应关系框架扩展至不规则共形块。

ABSTRACT

This paper is based on my presentation at RIMS workshop on "Theory of Integrable Systems and Its Applications in Various Fields" held in Kyoto on 19--21, August 2015. The aim of the present paper is to give a short account of recent studies on relations between conformal blocks in the two-dimensional conformal field theory and Painlevé functions. In addition, we present a conjecture on a combinatorial expansion formula of the three-point irregular conformal block at an irregular singular point, with two regular singular points and one irregular singular point. Our conjectural expansion formula is written in terms of pairs of skew Young diagrams, while the four-point regular conformal block, by AGT correspondence, is written in terms of pairs of Young diagrams.

研究动机与目标

• 建立具有一个不规则奇点和两个正则奇点的三点多不规则共形块的组合展开公式。
• 将AGT对应关系框架从以杨图表示的正则四点块扩展至不规则三点块。
• 提出Painlevé tau函数关于斜杨图对的猜想性级数展开，推广已知的傅里叶型展开。
• 识别展开式中系数的代数结构，猜想其为具有特定对称性的非负整数。
• 提供一种系统化方法，通过划分函数和钩长乘积计算系数。

提出的方法

• 提出在不规则奇点处对不规则共形块进行级数展开，以嵌套划分 ν ⊂ λ, η ⊂ μ 的斜杨图对 (λ, μ) 表示。
• 引入辅助函数：Uλ/ν = ∏(i,j)∈λ/ν (2(β−θ)+i−j)，Vμ/η = ∏(i,j)∈μ/η (−2β+i−j)，以及 Sλ,μ = ∏(i,j)∈λ [(β+i−j)²−θt²]/hλ(i,j)² × ∏(i,j)∈μ [(θ−β+i−j)²−θ₀²]/hμ(i,j)²。
• 推导出展开式为 t^{-2θt²−2β(θ−β)} e^{β/t} ∑λ,μ t^{|λ|+|μ|} ∑ν⊂λ,η⊂μ (−1)^{|ν|} cλ,μ^{ν,η} Uλ/ν Vμ/η Sλ,μ。
• 以Nekrasov划分函数的退化极限已知结果和Verma模中不规则向量的积分表示作为基础输入。
• 以AGT对应关系为指导原则，将已知的PVI tau函数傅里叶展开推广至不规则共形块。
• 通过低阶系数计算（t⁻², t⁻³, t⁻⁴）验证结构，显示与猜想的系数形式和对称性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有一个秩一不规则奇点和两个正则奇点的三点多不规则共形块构造一个组合展开公式？
• RQ2 展开式中的系数如何与杨图组合学相关联，特别是与斜图及其对称性？
• RQ3 系数 cλ,μ^{ν,η} 是否在所有项中保持为非负整数，其代数结构为何？
• RQ4 是否可通过斜杨图对对AGT对应关系实现向不规则共形块的推广？
• RQ5 该展开结构能否从Nekrasov划分函数的退化极限或不规则向量的积分表示中推导得出？

主要发现

• 三点多不规则共形块的猜想展开公式表示为对斜杨图对的求和，其系数 cλ,μ^{ν,η} ∈ ℤ≥₀。
• 系数 cλ,μ^{∅,∅} = 1，cλ,μ^{(1),(1)} = 2|λ||μ|，cλ,μ^{(2),(2)} = qλ qμ，其中 qλ 是涉及钩长和行/列和的划分相关函数。
• 系数 cλ,μ^{(2),(1,1)} = 3 qλ qμ′，表明在转置和下标交换下具有对称性。
• 展开式表现出完全对称性：cλ,μ^{ν,η} = cμ,λ^{η,ν} = cλ′,μ′^{ν′,η′}，证实了在划分对偶性和下标交换下的不变性。
• t⁻³ 和 t⁻⁴ 阶系数的结构完全由猜想公式再现，涉及 Uλ/ν, Vμ/η 和 Sλ,μ 项，低阶一致性得到确认。
• 该公式将已知的PVI tau函数傅里叶型展开推广至不规则块，以斜杨图对替代了杨图。